柯西积分定理
A.-L. 奥古斯丁-路易·柯西研究复变函数的积分所得到的基本定理。应用这一定理可导出解析函数的一系列重要性质。例如，可证明如果一复变函数在一区域内是解析的(即有导数)，则其导数必连续且任意阶导数必存在；还可计算一些定积分或反常积分，等等。
简介
复积分定义 设函数ƒ(z)=u+iv在可求长曲线Г上是连续的，其中u和v分别是ƒ(z)的实部和虚部。在Г上依次取分点。Г上从到zk的小段记为Гk,在Гk上任取一点,作和数。如果当（sk是Гk的弧长）趋于零时,s趋于一极限值，则称这个极限值为ƒ(z)沿曲线Г的积分，记为，考虑到，亦有。
柯西积分定理 设ƒ(z)在有限单连通区域（即“无洞”且不含无穷远点的区域）D内解析,Г是D内任一条可求长、简单（即本身不相交）、闭(即两端点重合)曲线，则。
柯西定理有一逆定理，即莫雷拉定理，这一定理与柯西积分定理相结合，可叙述为：设在有限单连通区域D内连续，则ƒ(z)在D内解析的充分必要条件是：对D内任一条可求长简单闭曲线（或任一三角形）Г，。
柯西积分公式 由柯西积分定理可导出柯西积分公式，这一公式把解析函数用曲线积分表示出来。特别，它用解析函数在一闭曲线上的值，表示出它在曲线内侧的值。柯西积分公式可表述如下：设ƒ(z)在有限单连通区域D内解析，Г是D内任一条可求长简单闭曲线，则对Г所围区域内任一点z， （式中积分是在Г上沿反时针方向取的）。
推论
该定理的一个直接推论，是在单连通域内解析函数的路径积分可以用类似于微积分基本定理的方法来计算：设D是复平面的一个开子集。f是一个D上的解析函数。函数f在D内的路径积分，只与积分的起点和终点有关，与中间经历的路径无关。柯西积分定理与柯西积分公式是等价的。从柯西积分定理可以推导出柯西积分公式和留数定理。