定积分
定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上的积分和的极限。这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有！一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
积分分类
即已知导数求原函数。若，那么.(，C为常数).也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为的偏导数也是f(x)（C是任意常数）。所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的。所以一律用代替，这就称为不定积分。即如果一个导数有原函数，那么它就有无限多个原函数。
定积分（definite integral）
定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中的图像包围的面积。即由 所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。
定义
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间，其中。可知各区间的长度依次是：，在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点，作和式。该和式叫做积分和，设（即λ是最大的区间长度），如果当时，积分和的极限存在，则这个极限叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为，并称函数f(x)在区间[a,b]上可积。
其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。
之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个常数，而不是一个函数。
根据上述定义，若函数f(x)在区间[a,b]上可积分，则有n等分的特殊分法：
特别注意，根据上述表达式有，当[a,b]区间恰好为[0,1]区间时，则[0,1]区间积分表达式为：
性质
1、当时，
2、当时，
3、常数可以提到积分号前。
4、代数和的积分等于积分的代数和。
5、定积分的可加性：如果积分区间[a,b]被c分为两个子区间[a,c]与[c,b]则有
又由于性质2，若f(x)在区间D上可积，区间D中任意c（可以不在区间[a,b]上）满足条件。
6、如果在区间[a,b]上，,则
7、积分中值定理：设f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点ε在（a，b)内使
常用积分法
换元积分法
如果
（1） ;
（2）上单值、可导;
（3）当时，,且,则
分部积分法
设u=u(x),v=v（x)均在区间[a,b]上可导，且u′，v′∈R（[a,b]),则有分部积分公式：
分点问题
定积分是把函数在某个区间上的图象[a,b]分成n份，用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当时所有这些矩形面积的和。习惯上，人们用等差级数分点，即相邻两端点的间距Δx是相等的。但是必须指出，即使Δx不相等，积分值仍然相同。假设这些“矩形面积和”
那么当时，Δx的最大值趋于0，所以所有的Δx趋于0，所以S仍然趋于积分值.
利用这个规律，在了解牛顿-莱布尼兹公式之前，便可以对某些函数进行积分。
例如：证明对于函数 有
且
“矩形面积和”为
提取，则有
利用等比级数公式，得到
其中 设 令，则
令n增加，则s,q都趋于1，因而N的极限为。
黎曼积分
定积分的正式名称是黎曼积分。用伯恩哈德·黎曼自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a,b.
可以看到，定积分的本质是把图象无限细分，再累加起来，而积分的本质是求一个导函数的原函数。它们看起来没有任何的联系，那么为什么定积分要写成积分的形式呢？
定理
一般定理
定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。
定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。
牛顿-莱布尼茨公式
定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是：
如果f(x)是[a,b]上的连续函数，并且有，那么
用文字表述为：一个定积分式的值，就是原函数在上限的值与原函数在下限的值的差。
正因为这个理论，揭示了积分与伯恩哈德·黎曼积分本质的联系，可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位，因此，牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。
应用
解决求曲边图形的面积问题
例：求由抛物线 与直线 围成的平面图形D的面积S.
求变速直线运动的路程
做变速直线运动的物体经过的路程s，等于其速度函数在时间区间[a,b]上的定积分。
变力做功
某物体在变力的作用下，在位移区间[a,b]上做的功等于在[a,b]上的定积分。（见图册“应用”）
数列求和的极限
若函数在[a,b]上连续，则有：
若函数在[a,b]上连续，则有：
若函数在[0,1]上连续，则有：
以上三个结论。