拿破仑定理

拿破仑定理（英文名：Napoleon's theorem）是法国著名的军事家拿破仑·波拿巴提出的一个几何定理，即以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆中心恰为另一个等边三角形的顶点，该等边三角形称为拿破仑三角形。

拿破仑定理可推理相关定理，如任意凸四边形各边向外作正方形，则上下左右两对正方形中心的连线必垂直并相等。任意凸六边形各边向外作正三角形，则三对连接对面正三角形中心的连线相交构成一个正三角形。

验证推导

在△ABC的各边上向外各作等边△ABF，等边△ACD，等边△BCE。

如何证明：这3个等边三角形的外接圆共点？

思路1：利用四点共圆来证明三圆共点。这是证明拿破仑定理的基础。

证明：设等边△ABF的外接圆和等边△ACD的外接圆相交于O；连AO、CO、BO。

∴ ∠AFB=∠ADC=60°；

∵ A、F、B、O四点共圆；A、D、C、O四点共圆；

∴ ∠AOB=∠AOC=120°；

∴ ∠boc=120°；

∵ △BCE是等边三角形

∴ ∠BEC=60°；

∴ B、E、C、O四点共圆

∴ 这3个等边三角形的外接圆共点。

结论：因为周角等于360°，所以，∠AOB=∠AOC=120°时，∠BOC就等于120°；用四点共圆的性质定理和判定定理来证明三圆共点的问题。

以任意三角形的三边为边向外作等边三角形，则这三个等边三角形的中心的连线是一个等边三角形。

求证：上面3个等边三角形的中心M、N、P的连线构成一个等边三角形？

证明一

思路：利用已有的三个圆和三个四点共圆来证明。

证明：设等边△ABD的外接圆⊙N，等边△ACF的外接圆⊙M，等边△BCE的外接圆⊙P

相交于O；连AO、CO、BO。

∵ A、D、B、O四点共圆；

A、F、C、O四点共圆

B、E、C、O四点共圆

∠AFC=∠ADB=∠BEC=60°；

∴ ∠AOB=∠AOC=∠boc=120°；

∵ NP、MP、MN是连心线；

BO、CO、AO是公共弦；

∴ BO⊥NP于X；

CO⊥MP于Y；

AO⊥NM于Z。

∴ X、P、Y、O四点共圆；

Y、M、Z、O四点共圆；

Z、N、X、O四点共圆；

∴ ∠N=∠M=∠P=60°；

即△MNP是等边三角形。

证明二

思路2：证明原三角形几何中心至外围三个等边三角形几何中心距离相等。

左图中绿色构造线利用中线特性求其长度，绿色角度值亦可用余弦定理求出，结合垂角，进一步利用余弦定理求出两几何中心距离，同理可证原几何中心与另外两个等边三角形的几何中心距离。

费马点也是证明拿破仑定理的好方法。

右图即是用费马点的性质来推导拿破仑定理的证明方法。

证明三

思路3：用相似证明三边相等

证明：如图，分别以△ABC的边BC、AC、AB为等边三角形边长，向△ABC外作等边三角形（△BCC'、△ACA'、△ABB'），设这三个三角形的中心分别为D，E，F，

则：∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°

以点A为圆心，以AF长为半径作弧；以点E为圆心，以DC长为半径作弧。设两弧在多边形AFBDCE内交于点G。则AG=AF，GE=DC。

连接GF、GA、GE，DE、DF、EF。

∵△ABF、△BCD、△ACE都是底角为30°的等腰三角形（即∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°）

∴△ABF∽△BCD∽△ACE，

∴AF/AB = AE/AC = DC/BC　又∵AG=AF，GE=DC

∴AG/AB = AE/AC = GE/BC

∴△AGE∽△ABC

∴∠GAE=∠BAC

∴∠FAG = ∠EAF-∠GAE = ∠EAF-∠BAC = ∠FAB+∠EAC = 60°

又∵AG=AF

∴△AGF为等边三角形

∴AG=AF，∠AGF=60°　∵△age∽△ABC

∴∠AGE=∠ABC

又∵∠FBD = ∠ABC+∠FBA+∠DBC = ∠ABC+60°

∠FGE = ∠AGE+∠AGF = ∠AGE+60°

∴∠FBD=∠FGE

∵在△FBD和△FGE中，

FB=FG，∠FBD=∠FGE，BD=GE

∴△FBD≌△FGE(SAS)

∴FD=FE

同理，FD=DE

∵FD=DE=FE

∴△DEF为等边三角形

参考资料

拿破仑与知识分子:最尊敬科学家，最讨厌作家.澎湃新闻.2024-02-28

靠数学打仗的战争之神——拿破仑.中国大百科全书.2024-02-28

“数”博|如果当年看透这一点，我一定能学好数学.微信公众平台.2024-02-28