欧几里得整环
v(b)。 ，v(x) 时并非欧几里得整环，却仍是主理想环。
正文
在抽象代数中，欧几里得整环（Euclidean domain）是一种能作辗转相除法的整环。凡欧几里得整环必为主理想环。
定义
一个欧几里得整环是一整环 D 及函数，使之满足下述性质：
若 而，则存在 使得 ，而且或者，或者。若 a 整除 b，则。函数 v 可设想成元素大小的量度，当 时可取 。
例子
欧几理得整环的例子包括了：
整数环，。高斯整数环。域上的多项式环与幂级数环（v(f) 定义为使 的最大非负整数 n）。离散赋值环，v(x) 定义为使 的最大非负整数 n，其中 表该离散赋值环的唯一极大理想。利用辗转相除法（定义中的第一条性质），可以证明欧几里得环必为主理想环，此时理想由其中 v-值最小的元素生成。由此得到一个推论：欧几里得整环必为唯一分解环。
并非所有主理想环都是欧几里得整环，Motzkin 证明了 的整数环在 时并非欧几里得整环，却仍是主理想环。这方面的进一步结果详见以下文献。