诺特环
在数学中，更具体地在抽象代数领域被称为环形理论。诺特环(Noetherian ring)是抽象代数中一类满足升链条件的环。戴维·希尔伯特(Hilbert)首先在研究不变量理论时证明了多项式环的每个理想都是有限生成的，随后德国数学家艾米·诺特(Emmy Noether)从中提炼出升链条件，诺特环由此命名。
简介
诺特环是一个满足理想上升链条件的环；也就是说，给予任何理想的链条：
存在n，使得：另外还有其他等价定义的Noetherian环。
等价的定义为：A的每个理想都是有限生成的，或者是理想是有限生成的。
将上述定义中的理想代换为左理想或右理想，可以类似地定义左诺特环与右诺特环。A是左（右）诺特环当且仅当A在自己的左乘法下形成一个左（右）诺特模。对于交换环则无须分别左右。
艾美奖环以艾美·诺特（Emmy Noether）命名。由于它在简化环的理想结构中起着重要的作用，在交换和非交换环理论中，Noetherian环的概念是至关重要的。例如，整数环和场上的多项式环都是Noetherian环，因此，诸如Lasker-Noether定理，Krull交集定理和戴维·希尔伯特基础定理这样的定理成立。此外，如果一个环是Noetherian，那么它满足主要理想的下降链条件。这个属性暗示了从Krull维度的概念开始的Noetherian环的深度的维度理论。
特征
对于非交换环，有必要区分三个非常相似的概念：
1.如果满足左侧理想上升的链条条件，则环为Noetherian。
2.如果它满足左理想的上升链条件，那么一个戒指是对的 - Noetherian。
3.如果它是左和右，Noetherian，都是Noetherian。
对于交换环，所有三个概念重合，但一般来说它们是不同的。有没有左Noetherian环，而不是右Noetherian环，反之亦然。
还有另外一个等同的定义，我们给左Noetherian环R一个定义：
1.在R中的每个左边的理想I有限地产生，即在I中存在元素，使得。
2.每个非空集合的左边理想，通过包含部分排序，具有关于集合包含的最大元素。
类似的结果适用于右诺特环。
对于一个交换戒指是Noetherian，就可以有效地生成环的每个主要理想。
属性
1.任何交替的主要理想环都是Noetherian，因为这样一个环的每个理想都是由一个元素产生的。特别是，每个主要的理想领域和每个欧几里得域都是Noetherian。
2.Z是一个Noetherian环，这个事实在通常的证据中被利用，每个非单位整数都可以被至少一个素数整除，尽管它通常被称为“每个非空的整数集合具有关于可分割性的最小元素”。
3.如果R是Noetherian环，则R [X]是Hilbert基定理的Noetherian。通过感应，是一个Noetherian环。此外，R [[X]]，功率系列环是Noetherian环。
4.如果R是Noetherian环，而我是双面的理想，那么因子也是Noetherian。换句话说，一个Noetherian环的任何一个弹性环同态的形象是Noetherian。
5.在交换性的Noetherian戒指上的每个有限生成的交换代数是Noetherian。 （从以前的两个属性开始）
6.当且仅当每个有限生成的左R模块都是Noetherian模块时，环R就是Noetherian。
7.交换的Noetherian环的每个本地化都是Noetherian。
8.Akizuki-Hopkins-Levitzki定理的结果是每个左边的Artinian环都是Noetherian。另一个后果是，左边的Artinia环是左的Noetherian，如果且只有左的Artinian。具有“右”和“左”的类似语句互换也是如此。
9.一个左侧的Noetherian环是相干的，左侧的Noetherian域是一个左侧的矿石域。
10.如果且只有注射（左/右）模块的每个直接总和是注射的，则是（左/右）Noetherian。每个注射模块可以分解为不可分解的注射模块的直接总和。
11.在一个交换的Noetherian环中，只有极少数的理想。
12.在可交换的Noetherian域R中，每个元素都可以被分解为不可约元素。因此，如果另外不可约束的元素是素数元素，则R是唯一的分解域。
举例
1.任何领域，包括有理数字，实数和复数的领域，都是Noetherian。
2.任何主要的理想领域，如整数，都是Noetherian，因为每个理想都是由一个元素生成的。
3.Dedekind域（例如，整数环）是Noetherian，因为每个理想都由最多两个元素生成。 “Noetherian”来自于Krull-Akizuki定理。发电机数量的范围是福斯特 - 天鹅定理（或基本环理论）的推论。
4.作为戴维·希尔伯特基础定理的结果，仿射品种的坐标环是一个Noetherian环。
5.有限维代数g的包络代数U是左和右noetherian环，这是因为U的相关分级环是Sym(g)的商，是一个场上的多项式环；因此，是一个Noetherian环。
6.整数或一个字段中有限多个变量的多项式环。
不是Noetherian的戒指往往（在某种意义上）非常大。以下是非Noetherian戒指的一些例子：
1.无限多个变量等中的多项式环，理想（），（），（）等的序列是上升的，不会终止。
2.代数整数的环不是Noetherian。例如，它包含无限上升的主要理想链：（2），（），（），（），...
3.从实数到实数的连续函数的环不是Noetherian：令In是所有连续函数f的理想，使得对于所有，。理想等的序列是不终止的上升链。
4.稳定同伦群的球体不是Noetherian。然而，非Noetherian戒指可以是Noetherian戒指的子环。由于任何一个整合的域都是一个子域，任何不是Noetherian的整合域都是一个例子。给一个不那么琐碎的例子，
5.在场k上由x和生成的合理函数环是只有两个变量的场k（x，y）的子环。
事实上，有一些环是左的Noetherian，但没有右Noetherian，所以一个人必须小心测量一个戒指的“大小”这样。例如，如果L是与Z同构的的亚组，则R是从到自身满足的同态的环。选择一个基础，我们可以描述相同的环R：
这个环是左的Noetherian，但不会右Noetherian；由和的元素组成的子集I⊂R是没有有限生成的左R模块的左理想。
如果R是左侧的Noetherian环S的交换子环，S作为左R模块有效生成，则R是Noetherian。（在S是可交换的特殊情况下，这被称为Eakin定理）然而，如果R不可交换，则不是这样：前一段的R环是左侧Noetherian环，S作为左R模块有限地生成，但R不是Noetherian。
唯一的分解域不一定是一个noetherian环。它确实满足一个较弱的条件：主要理想上升的链条条件。
估值环不是Noetherian，除非它是主要的理想领域。它给出了代数几何自然产生的环，但不是Noetherian的例子。
主分解
在整数的环Z中，对于某个整数n，任意的理想是（n）的形式（其中（n）表示n的整数倍数的集合）。如果n是非零，并且既不是1也不是-1，通过算术的基本定理，存在素数和正整数，与。在这种情况下，理想（n）可以写成理想的交点；也就是说，。这被称为理想（n）的主要分解。
一般来说，如果Q是左的，并且每当，则某个正整数n的或，则认为环的理想Q是主要的。在Z中，主要理想恰恰是形式（）的理想，其中p是素数，e是正整数。因此，（n）的主分解对应于表示（n）作为有限许多主要理想的交点。
由于算术的基本定理应用于非零整数n，既不是1也不是-1，也表示了，对于和为正，n（n）的主要分解基本上是唯一的。
由于上述所有原因，以下定理被称为拉斯克 - 诺特定理，可以被看作是算术基本定理的某种泛化：
Lasker-Noether定理。让R成为一个可交换的Noetherian环，让我成为R的理想。然后我可以写成有限的许多主要理想与不同的自由基的交集；那是：对于，所有i的为主，。此外，如果：
是对于，的I的分解，并且I的两个分解都是非冗余的（意味着或，...的适当子集，产生一个相等于I），和（在可能重新编号之后）的交点。
对于I的任何主要分解，即集合由Lasker-Noether定理保持不变。