距离
在数学中，距离是泛函分析中最基本的概念之一。它所定义的距离空间连接了拓扑空间与赋范向量空间等其他空间，是学习泛函分析首先接触的概念。
定义
设是任一非空集，对中任意两点有一实数与之对应且满足：
1)非负性、同一性：，且当且仅当；
2)对称性：；
3)直递性：。
称为中的一个距离，定义了距离的集称为一个距离空间，记为，在不引起混乱的情形下简记为。
示例
本节共提供三个例子。
例1设是元实数组全体，令，其中，。
我们证明是一个距离空间，为此我们需要验证满足距离的三条公理。1)，2)显然成立，关键是证明3)成立。我们先证明一下Cauchy不等式：对任意实数，我们有
事实上，任取实数，则
上面等式左端是的一个二次三项式，于是它的判别式不大于0，即Cauchy不等式成立。
下面证明3)成立，由Cauchy不等式，得
设是任意三点，在上面不等式中令，则
即所以是一个距离空间，我们把这个空间简记为。
例2考虑区间上所有连续函数集，设是上任意两个连续函数，定义，由于也是上的连续函数，因此有最大值。距离公理1)2)显然成立。设是上任意三个连续函数，则所以
由此可知上的连续函数全体赋以上述距离是一个距离空间，记为。
例3考虑实数列的全体。设是两个实数列，定义
上式右边的是一个收敛因子，保证级数收敛，距离公理的1)2)显然成立，为证明3)成立，考虑上的函数，易见，所以是单增的。由此，设。由于则有
在上不等式两边乘并求和，得到我们称这个距离空间为。