幂集
幂集（Power Set）是原集合中所有子集构成的集族。设A是任意集合，由A的所有子集组成的集合，称为集合A的幂集，记作2^A或P(A),即 P(A)={B|B⊂A}。
幂集的概念起源于集合论，它是集合论中的一个重要概念，用于描述集合的所有子集。19世纪初，数学界对数学分析基础的批判运动促进了集合论的诞生。1851年，波尔查诺发表著作《无穷悖论》。1870年格奥尔格·康托尔应朋友海涅邀请开始研究函数的三角级数表示的唯一性问题。康托尔在1874年提出了集合的定义，在集合概念产生后，进一步定义了集合的子集、交集、并集、幂集等系列概念。
幂集被广泛应用于概率论中，通过对幂集中的子集进行概率计算，可以得到不同事件发生的概率。利用“幂集”概念可以建立关于无穷集的数学理论。其用于建造监测水质预测模型，能够有效融合专家知识与定量数据，并能在描述多种不确定性的同时，将传统的辨识框架扩展到幂集，使其能够很好地表达无知性从而提高水质预测精度。
定义
设是一个集合，的所有子集的全体所组成的集合叫做的幂集，并记作
或。
例如，若中，因的子集只有，故以为元素所组成的集合，即的幂集。若，则的子集有和本身，故。
若，则的子集有
故。
简史
幂集的概念起源于集合论，它是集合论中的一个重要概念，用于描述集合的所有子集。集合的思想可以追溯到古希腊的原子论学派，他们把直线看成一些原子的排列。19世纪初，数学界对数学分析基础的批判运动促进了集合论的诞生。1851年，波尔查诺发表著作《无穷悖论》，肯定了实无穷的存在，建立了集合等价的概念，还注意到无穷集合的某些真部分有可能等价于整体的情况。1870年格奥尔格·康托尔应朋友海涅邀请开始研究函数的三角级数表示的唯一性问题。他在1871年至1872年的论文中逐步把三角级数展开的唯一性条件推广到允许例外值成为无穷集的情况，把函数间断点问题的研究过渡到对点集本身的研究，明确提出了点集、点集的导集、导集的导集等由实数构成的更复杂的集合。1873年12月7日，康托尔在给戴德金中的信中说，他已成功证明了实数集是不可数的。康托尔在1874年提出了集合的定义：“一个集合就是我们的直观或我们的思想上那些确定的、能区分的对象（它们称为集合的元素）汇集在一起，作为一个整体来考虑的结果。”这里用汇集来定义集合是同义语反复。之后人们认识到集合是一个原始的概念，不能用其他概念来定义，而只能加以描述或说明。在集合概念产生后，进一步定义了集合的子集、交集。并集、幂集等系列概念。
性质
性质一：，即是非空的。
性质二：，即是的元素。
性质三：如果有限集合有个元素，则其幂集有个元素。
性质四：康托尔定理，任一集合的基数，小于这一集合的幂集合的基数。
性质五:设是一个有限集，则里不同元素的个数叫做的基数，并记为。
相关推论
推论一
已知集合，则有
证明：，都有，而
所以有。
推论二
设，若。
证明:对的任一元素，因是的子集，即，即是的子集，于是由幂集的定义，。
应用
数学
幂集在概率论中有重要的应用。在概率论中，样本空间是指一个随机试验的所有可能结果的集合，而样本空间的幂集就是这个随机试验的所有可能事件的集合。通过对幂集中的子集进行概率计算，可以得到不同事件发生的概率。
利用“幂集”概念可以建立关于无穷集的数学理论。在格奥尔格·康托尔那里，一个集合的“幂集”就是其所有子集的集合。任何非空集合的幂集都比其本身大，这个结论对有穷集是显然的，且对无穷集也成立。如果是一个无穷集，则的幂集的基数总是比本身的基数大。也就是说，任何集合都不能与其幂集之间建立一一对应。康托尔由幂集概念得出，存在无穷多的大小不同的无穷集，并引入“超穷数”去表示无穷集的基数。他将有穷数推广到超穷数，这是对数系的一种新扩张，他还研究了超穷算术运算的可能性，并成功地将加法和乘法推广到我们现在所谓的基数运算(但不能对超穷数做减法和除法运算)。
在集合加入代数运算，使集合成为一种代数结构，并考虑使之作成半群、群的主要内容。紧接着，映射和运算向幂集提升，然后借助这种思想，将一般的向量空间的幂集提升为一个新的半群、群，并使它能够成为一个全新的线性空间。最后，将线性空间的幂集提升思想应用到群表示理论中，给出了由已知群表示派生出新的群表示的新方法 。
网络技术与虚拟模型
Apriori 算法改进一直是数据挖掘的一个重要研究方向，近年来，许多学者相继提出了基于向量积、布尔向量、最大频繁项集等方法的改进算法。但是，面对海量数据时，这些算法就需要大量时间来扫描数据库，不利于频繁项集的快速寻找。目前将在云计算环境中，将Apriori 算法与MapReduce模型结合，对海量数据进行分布式并行处理，最终产生符合要求的频繁项集，从而提高了数据挖掘效率。通过分析 Apriori 算法的不足，可以引入MapRe-duce 模型，改造了Map 和 Reduce 函数，结合幂集的二进制编码方法，提出了云环境下基于二进制编码的Apriori 改进算法，一定程度上提高了海量数据的频繁项集挖掘效率，为关联规则挖掘提供了新的研究方向。
由于目前水质预测中未考虑局部无知性这一问题，所以提出一种基于幂集置信规则库(Belief rule base with power set，PBRB)的水质预测模型。该模型能够有效融合专家知识与定量数据，并能在描述多种不确定性的同时，将传统的辨识框架扩展到幂集，使其能够很好地表达无知性从而提高水质预测精度。此外，利用协方差矩阵自适应进化策略(Covariance matrix adaptive evolution strategy，CMA-ES)算法可以对PBRB模型进行优化。