康托尔集
在数学中，康托尔集，由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入（但由亨利·约翰·斯蒂芬·史密斯在1875年发现），是位于一条线段上的一些点的集合，具有许多显著和深刻的性质。
引入
通过考虑这个集合，康托尔和其他数学家奠定了现代点集拓扑学的基础。虽然康托尔自己用一种一般、抽象的方法定义了这个集合，但是最常见的构造是康托尔三分点集，由去掉一条线段的中间三分之一得出。康托尔自己只附带介绍了三分点集的构造，作为一个更加一般的想法——一个无处稠密的完备集的例子。实际上斯梅尔的马蹄映射也会形成康托尔集。
康托尔集的构造
康托尔集的构造是一个递归过程。首先从区间[0,1]中去掉中间的三分之一(1/3, 2/3)，留下两条线段：[0, 1/3] ∪ [2/3, 1]。然后，把这两条线段的中间三分之一都去掉，留下四条线段：[0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1]。康托尔集就是由所有过程中没有被去掉的区间[0,1]中的点组成。这个过程可以由递归的方法描述，首先令：
C₀ := [0,1]
则第n步递归得到的结果：
Cₙ := (1/3)Cₙ₋₁ ∪ (2/3 + (1/3)Cₙ₋₁) = (1/3)(Cₙ₋₁ ∪ (2 + Cₙ₋₁)), 对于n ≥ 1
所以：
C := limₙ→∞ Cₙ = ⋂ₙ=₀∞ Cₙ = ⋂ₙ=ₘ∞ Cₙ, 对于m ≥ 0。
下面的图显示了这个过程的最初六个步骤。有些学术论文详细描述了康托尔集的明确公式。
康托三分集
取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，再将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，……，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔点集，记为P。称为康托尔点集的极限图形长度趋于0，线段数目趋于无穷，实际上相当于一个点集。操作n次后
边长
边数
根据公式
所以格奥尔格·康托尔点集分数维是。
性质特点
康托三分集中有无穷多个点，所有的点处于非均匀分布状态。此点集具有自相似性，其局部与整体是相似的，所以是一个分形系统。康托三分集具有：
1. 自相似性；
2. 精细结构；
3. 无穷操作或迭代过程；
4. 传统几何学陷入危机。用传统的几何学术语难以描述，它既不满足某些简单条件如点的轨迹，也不是任何简单方程的解集。其局部也同样难于描述。因为每一点附近都有大量被各种不同间隔分开的其它点存在。
5. 长度为零；
6. 简单与复杂的统一。
康托尔集P具有三条性质：
1. P是完备集。
2. P没有内点。
3. P的基数为c。
康托尔集是一个基数为c的疏朗完备集。
三进制理解
在长度为1的直线段中，将所有点按三进制编码。
即第一次去掉的点，为三进制编码小数中，第一位小数为1的所有点；同理，第N次操作，就是去掉三进制小数中，第N位为1的点。
最后得到的康托尔集，用三进制表示，就是小数位只有0，2的所有小数。
说明：0.1(3)是格奥尔格·康托尔集中的点，但不符合上述描述。在上述描述中，是以0.02（2的循环）表示的。
如果要消除这种循环表示方法，可以定义为：康托尔集，用三进制表示，就是小数位的有效数字最后一位可以为1，2；其他位数只有0，2的所有小数。