正切半角公式

正切半角公式，又称万能公式，被称为以切表弦公式，简称以切表弦。

简介

正切半角公式，又称万能公式，这一组公式有四个功能：

将角统一为；

将函数名称统一为tan；

任意实数都可以 的形式表达，可用正切函数换元。

在某些积分中，可以将含有三角函数的积分变为有理分式的积分。

因此，这组公式被称为以切表弦公式，简称以切表弦。它们是由二倍角公式求得的。

而被称为万能公式的原因是利用 的代换可以解决一些有关三角函数的积分。

万能公式证明

由二倍角公式，有：

再由同角三角函数间的关系，得出

几何证明

在单位圆内，。根据相似关系， ，可得出

。

显然。

双曲函数

此公式亦可以对双曲函数起到类似的作用，由双曲线右支上的一点给出。从(−1,0)到y轴给出了如下等式：

可以得到

和

卡尔·魏尔施特拉斯引入这个式子来省去查找原函数的麻烦。

θ在T而得出下面的双曲反正切函数和自然对数之间的关系：

参考资料