极限序数
极限序数(极限 ordinal number)集合论术语，是指一类特殊的序数。指不为0且不是后继序数的序数。
集合论是德国数学家康托儿于19世纪末创立的，以集合为研究对象的一个数学基本分支。集合论的内容几乎渗透到数学的一切领域，它在现代数学的发展中起了很大的作用，是现代数学各个分支的基础。按照现代数学的观点，数学各个分支都可以看作是研究具有某种特定结构的集合。
简介
极限序数(limit ordinal number)是一种序数。若α≠0且α不是后继序数，则称α为极限序数。极限序数不直接跟在某个序数之后，因此它有这样的性质：若β\u003cα，则必有序数γ满足β\u003cγ\u003cα。因而极限序数α又满足：
人们经常见到的极限序数有ω，2ω，ω等。
定义
极限序数是一类特殊的序数。指不为0且不是后继序数的序数。一切序数被分成三类：
1.只含0这个序数。
2.后继序数。
3.极限序数。
ω={0，1，2，…}是最小的极限序数。序数可按顺序列出如下：
0，1，2，…，
ω，ω+1，ω+2，…，
ω·2，ω·2+1，…，ω·3，…，ω·4，…，
ω·ω=ω，ω+1，…，ω+ω，…，
ω·2，…，ω，…， ω，…，ω，
ω+1，…，ω·2，…，
ω·ω=ω，…，ω，…，ω，…，ω，…，ω，…，
其中ω，ω·2，ω·3，ω，ω，ω等都是极限序数。
序数
集合论的基本概念之一，是日常使用的第一、第二……表示次序的数的推广。序数概念是建立在良序集概念之上的。序数原来被格奥尔格·康托尔(Cantor，G.F.P.)定义为良序集的序型，而良序集A的序型A-，作为从A的结构属性抽象出来的结果，是所有与集A同构的一切良序集的共同特征，即A-={B|BA}。这一定义从形式上看简单明了，但可惜这样的不是ZFC系统中的集合。事实上{B|BA}是一个真类。
1923年和1928年，约翰·冯·诺依曼(von Neumann，J.)为了克服上述定义的缺陷，把序数定义为满足下述条件的良序集α：对于一切ξ∈α，S(ξ)=ξ.这里S(ξ)={β∈α|β\u003cξ}称为良序集α中由ξ生成的初始段。例如，在集合9={0，1，…，8}中任取一元素x，则S(x)={0，1，…，x-1}，所以9是一序数。集A称为归纳集，如果：
1.∅∈A.
2.只要a∈A，就有a′=a∪{a}∈A.
A的一切归纳子集之交N是自然数集。它是最小的归纳集。N是良序的，且对任何n∈N都有：
S(n)={0，1，…，(n-1)}=n，
所以N是序数，记为ω。自然数集N的每个元素n都是序数，称为有限序数。其他序数称为超穷序数。ω是最小的超穷序数.
1937年，鲁宾孙(Robinson，R.M.)给出序数的另一等价定义：良序集〈α，∈〉是一个序数，若〈α，∈〉是传递集，即只要x∈α且y∈x就有y∈α。
序数也可用递归的方法来定义：
1.0是序数。
2.若α是序数，则α′=α∪{α}是序数。
3.若S是序数的集合，则∪S是序数。
4.任一序数都由上述1—3得到。
后三种定义没有格奥尔格·康托尔原定义的缺点。序数有三种，第一种是0;第二种是后继序数α′=α∪{α}；其他序数属第三种，称为极限序数。对任何良序集A，有且仅有一个序数α使A与α同构，此时α称为A的序数，用A-=α表示。
任何两个具有相同序数的良序集必定序同构，因此，序数是同构的良序集的共同特征。这正是康托尔序数概念的实质。对任何序数α和β，定义α\u003cβ，当且仅当α∈β。
序数有下列性质：设α，β和γ是序数。
1.若α\u003cβ，β\u003cγ，则α\u003cγ。
2.α\u003cβ和β\u003cα不能同时成立。
3.α\u003cβ或α=β或β\u003cα之一成立。
4.每个非空的序数集合有一个关于\u003c的最小元，因此每个序数集都可用关系\u003c将它良序化。
5.每个序数集合X，都存在序数α，使得α∉ X。
后继序数
一类特殊的序数。如果序数α是某个序数的后继，则称α为后继序数，即存在序数β，使得α=S(β)=β∪{β}。非0且非后继的序数称为极限序数。非0的自然数都是后继序数。例如：
1=0∪{0}=S(0);
2=1∪{1}=S(1);
…
同样，ω+1，ω+2，…也是后继序数。但0， ω，ω等则不是后继序数。