积分第一中值定理
积分第一中值定理是积分中值定理的推广之一，此外还有积分第二中值定理。积分中值定理揭示了一种将积分化为函数值，或者是将复杂函数的积分化为简单函数的积分的方法。是数学分析的基本定理和重要手段，在求极限、判定某些性质点、估计积分值等方面应用广泛。
定理定义
如果函数 在闭区间 上连续，在 上不变号，并且 在闭区间 上是可积的，则在 上至少存在一个点，使下式成立：
定理证明
由于 在 上不变号，不妨设。并且由 在 上的连续性可知，在 上存在最大值 和最小值，使得，将不等式两边同时乘以，得到：
对上式在上 取积分得:
若，上式等号成立， ，定理显然成立。
若，不等式两边同除以，有
由介值定理，存在，使得，即。
定理得证。
应用实例
求极限
解：取 为， ， ，则， ，并有
由于 有界，因此
即原式的极限为0。