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葛立恒数

葛立恒数

葛立恒数（英文名：Graham's number）曾经被视为在正式中出现过最大的数。它是一个常数，由美国数学家罗纳德·葛立恒（Ronald Graham）最早提出。葛立恒数是在解决拉姆齐问题中发现的，是该问题的一个上限解，大到难以想象。它只有通过64层高德纳箭号表示法才能表示出来，它被定为在正式中出现过最大的数。后来，葛立恒数被更大的数——所取代。

定义

使用唐纳德的向上箭头符号，葛立恒数由数字表示

其中：每层中的箭头数量由其下一层的值指定，向上箭头上的上标表示有多少个箭头。换句话说，G分64步计算：第一步是计算在3s之间有四个向上箭头；第二步是计算在3s之间有向上箭头；第三步是计算在3s之间有个向上箭头；以此类推，直到最终算出3s之间的向上箭头，即，的上标表示函数迭代的次数，例如：。

以超运算系列表示,函数是特定序列,它是快速增长的阿克曼函数的一个版本。（事实上，对于所有n恒成立。）函数也可以用Conway链式箭头法表示为并且此表示法还在G上提供了以下边界：。

发展历史

葛立恒数最早由美国数学家约翰·莱昂哈德·葛立恒（Ronald Graham，1935年10月31日－2020年7月6日，生于加州托夫特）首次提出。葛立恒数的历史可以追溯到20世纪初的拉姆齐理论，这是一个重要的组合数学理论。在拉姆齐理论中，弗兰克·菲利普斯·拉姆齐提出了一系列关于离散结构和性质的理论，为后来葛立恒数的发现奠定了理论基础。罗纳德·葛立恒发现了这个常数的存在，并给出了它的一些性质，但当时并没有对这常数进行深入的研究。由葛立恒名字命名的“葛立恒数”曾被视为数学证明中出现过的最大的数，入选吉尼斯世界纪录。随着数学研究的不断深入，一些科学家提出了新的数学概念，例如，逐渐取代了部分葛立恒数的应用和研究领域。这种替代关系反映了数学领域的发展和演变，同时也促使人们对葛立恒数的研究进行更深入的探讨。

计算

利用超运算，葛立恒数可以表示为：其中，64表示共有64层超运算。从内至外，每一层中的超运算级数由方括号内的那一层表示的数值决定。计算值需要经过64步，首先从最内层开始计算：

让：

给定函数：，例如：

然后计算：

接着计算到64层得到最终结果

一般来说：，其中：，以此类推下去葛立恒数会是一个很大的数。

推广

TREE（3）

比“葛立恒数”还大的数为,其实是一个函数，则表示当这个函数的自变量取值为3的时候，函数的值。通过合并标签，弗里德曼定义了一个增长速度更快的功能。对于正整数，取为最大的，这样就得到以下结果：

如图，一组3个标签（蓝色\u003c红色\u003c绿色）标记的生根树序列。序列中的第棵树最多包含个顶点，并且没有树可以嵌入到序列中的任何后续树中。即有一个序列的根树，由一组个标签标记，其中每个最多有个顶点，使得对任何都不成立。序列开始，，然后突然爆炸到一个如此之大的值，以至于葛立恒数在它的相比之下也很小。的下限，以及的极弱下限，是。例如，葛立恒数远小于下界，大约是，其中是葛立恒数。被定义为此序列的最长可能长度。

类似理论

古戈尔数与古戈尔普勒克斯

1centillion有303个0，拉丁文数字前缀(bi- tri-······不是表示0的数量，而是表示一个数字在1000的3个0之上增加多少个3个0的组。据此，1million(1000,000)比1,000多1组3个0，1 billion(1,000,000,000)多出来2组0，所以前缀为“bi-”(意为2)。ltrillion多出来3组0。(“tri-”意为3)1centillion多出来100组0，加上1000里原有的3个，得到303个0。不属于“······illion”系列的著名数字有两个:古戈尔数(googol)与古戈尔普勒克斯(googolplex)。古戈尔是1后面100个0。即10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000

古戈尔普勒克斯是个无法想象的大数:10的古戈尔次方，写作 10googol。“古戈尔”与“古戈尔普勒克斯”这两个词是美国数学家爱德华·卡斯纳(Edward Kasner)的9岁外甥米尔顿·西罗塔(Milton Sirotta)想出来的。古戈尔普勒克斯实在太大了，将它打印出来花费的时间将超过整个宇宙的历史，用掉的材料将超过宇宙的所有物质。用10号字(印刷杂志的字号)打印出来的长度将是已知宇宙直径的5X10%倍。连古戈尔数也超出了任何实际需要，宇宙中基本粒子(即亚原子)的数量估计在到个。因为光是古戈尔就是那个数量的 10，000，000，000，000，000，000倍(个像这样的宇宙的亚原子数)古戈尔普勒克斯就更多了。使用科学记数法，不方便记录，美国数学家戴维·克努特(David Knuth)的计数法用^表示幂。^意为“的次方”。它现在广泛用于计算机(在Microsoft Excel中，=10^6意为)。

但克努特允许重复使用它。双写^符号^^意为“的的次方的次方”,因此

3^3是=27

3^^3是3^(3^3)==7,625,597,484,987已经达到万亿了；

将^写三次，即^^^，很快就能得到非常大的数,3^^^3写成3^^4，其值为3^3^3^3 = 3^ =

应用领域

在一个人的脑海中存储巨大的数字可能会产生一个黑洞。即便如此，这些数字仍然是对量子物理学和概率的理解所固有的，甚至出现在数学证明中。但一旦离开了可观察的物理世界，开始量化所有可能存在的世界，数字就会迅速变得巨大。例如，在量子理论中，粒子不是存在于特定的时间和地点，而是作为在被观察到之前处于不同位置的波概率。如果系统中的每个物体都可以处于波态或粒子状态，那么1000个粒子就会产生2到1000种可能的配置，这已经“远远超过宇宙中的所有原子”。在极小数字的领域即极大数字的倒数，由于暗能量导致的宇宙神秘加速被宇宙学常数描述，一旦数字变得如此之大或如此之小，要获得任何规模感都需要进行类比，例如将宇宙的大小与人体中的细胞数量进行比较