二元运算
二元运算是一种数学概念，它涉及到两个元素的组合产生一个新的元素的过程。二元运算是由两个元素形成第三个元素的一种规则。例如数的加法及乘法；更一般地，由两个集合形成第三个集合的产生方法或构成规则称为二次运算。二元运算作用于两个对象的运算，如任意二数相加或相乘而得另一数；任意二集合相交或相并而得另一集合；任意一个多行矩阵与一个多列矩阵相乘而得另一矩阵；任意二函数合成而为另一函数，以上加、乘、交、并，积及合成均属二元运算。二元运算需要三个元素：二元运算符以及该运算符作用的两个变量。如在运算1 + 2之中，二元运算符为“+”，而该运算符作用的操作数分别为1与2。二元运算只是二元函数的一种，它被广泛应用于各个领域。在二元运算中，运算结果与两个输入值必须是同种类型，例如整数相加后仍然是整数，这保证了运算的封闭性。
定义
二元运算的定义 — 给定集合 A，二元函数 F:A×A→A 称为集合 A 上的二元运算。直观上，也就是集合 A 里的一组数 (a, b) 都对应一个 A 里的数值 F(a, b)，那对应规则的整体 F 就是所谓的二元运算。F(a, b) 通常写为 aFb，而且比起使用字母，二元运算时常以某种运算符表示，来跟普通的函数作区别。事实上 F:A×A→A 这个符号本身就保证了：“只要 a, b∈A 就会有 aFb∈A”，这个性质也称为（二元）运算封闭性。
闭包性
如果对于给定集合的成员进行运算，从而产生了象点，而该象点又是同一个集合中的成员，则称给定集合在该运算之下是封闭的。这种性质，通常称为闭包性。闭包性确保了运算结果仍然属于原有的集合，这是二元运算的基本要求。
在工具书中的解释
由两个元素形成第三个元素的一种规则。例如数的加法及乘法;更一般地，由两个集合形成第三个集合的产生方法，或构成规则，称为二元运算。
二元运算符
二元运算符应写在执行运算的子表达式对之间。
二元运算符比一元运算符的优先级低。二元运算符在本节中按优先顺序出现。
该优先顺序与 C 语言中的顺序并不一致。
乘法运算符
乘法运算符在所有二元运算符中优先级最高。它们只作用于数字表达式。
布尔运算符
这些运算符的优先级最低。它们对操作数执行标准的逻辑运算。
在所有三种情况下，A 和 B 必须为取值为 或 的表达式。
常用性质和术语
二元运算中存在多种性质和术语，它们描述了运算的特定特性和规则。以下是一些常见的性质和术语：
幺元
幺元是集合 A 在二元运算 ∘ 下的一个特殊元素 i，它对于集合中的所有元素 a 满足 i∘a=a 和 a∘i=a。如果一个元素同时满足左幺元和右幺元的条件，它就被称为幺元。
逆元
逆元是指在二元运算 ∘ 下，对于集合 A 中的任意元素 a 和 b，存在一个元素 a 是 b 的逆元，满足 a∘b=i 和 b∘a=i，其中 i 是幺元。逆元通常记为 a^(-1)。
零元
零元是集合 A 在二元运算 ∘ 下的一个特殊元素 z，它对于集合中的所有元素 a 满足 z∘a=z 和 a∘z=z。如果一个元素同时满足左零元和右零元的条件，它就被称为零元。
零因子
零因子是指在二元运算 ∘ 下，对于集合 A 中的非零元素 a，存在另一个非零元素 b 使得 a∘b=z 或 b∘a=z，其中 z 是零元。
交换律
交换律是指在二元运算 ∘ 下，对于集合 A 中的所有元素 a 和 b，运算满足 a∘b=b∘a。
结合律
结合律是指在二元运算 ∘ 下，对于集合 A 中的所有元素 a、b 和 c，运算满足 (a∘b)∘c=a∘(b∘c)。
消去律
消去律是指在二元运算 ∘ 下，如果 a≠b，则对于集合 A 中的所有元素 c，满足 c∘a≠c∘b（左消去律）和 a∘c≠b∘c（右消去律）。
幂等律
幂等律是指在二元运算 ∘ 下，对于集合 A 中的所有元素 a，运算满足 a∘a=a。
幂幺律
幂幺律是指在二元运算 ∘ 下，如果存在幺元 i，则对于集合 A 中的所有元素 a，运算满足 a∘a=i。
幂零律
幂零律是指在二元运算 ∘ 下，如果存在零元 z，则对于集合 A 中的所有元素 a，运算满足 a∘a=z。
分配律
分配律是指在集合 A 上的两个二元运算 ∘ 和 ◇ 下，运算满足 a∘(b◇c)=(a∘b)◇(a∘c)（左分配律）和 (b◇c)∘a=(b∘a)◇(c∘a)（右分配律）。如果一个运算同时满足左分配律和右分配律，它就被称为满足分配律。