双线性形式
设V是域F上的(n+1)维向量空间，如果函数σ：V×V→F，满足条件： σ(ax1+bx2，y)=aσ(x1，y)+bσ(x2，y)，a、b∈F，x1、x2、y∈V， σ(x，ay1+by2)=aσ(x，y1)+bσ(x，y2)，a、b∈F，x、y1、y2∈V，则σ称为定义在V上的双线性形式。
基本介绍
设H是Hilbert空间，是自伴算子，令则满足:
(i)；
(ii)；
(iii)。
(i)和(ii)实际是说，关于第一个变元x是线性的，从(iii)知关于第二个变元y是共轭线性的，即
我们可以利用上述性质给出一个更一般的概念。
定义1设H是Hilbert空间，如果二元映射满足：
(i)
(ii)
则称为H上的双线性形式。
如果条件(ii)代以更强的：
(iii)，则称为H上共轭的双线性形式。
如果一个双线性形式满足：
(iv) 存在，使则称为有界双线性形式。
若双线性形式满足：
(v)对任意，则称为自伴双线性形式。
如果共轭双线性形式满足：
(vi)对所有的，则称为正定的双线性形式。
注: 双线性形式关于后一个变量实际上是共轭线性的，故而有的书上又称双线性形式为一次半线性形式。
条件(vi)实际上只是半正定性，因为并不能推出，有时候我们仿照内积的记号，记双线性形式为。
根据定义，对有界算子是有界的双线性形式，如果T还是自伴算子或正算子，则还是自伴或正定的。
相关定理
除了Hilbert空间上的有界线性算子诱导的双线性形式之外，还有没有其他的双线性形式？下面我们就来讨论这个问题。
定理1
如果是H上的有界双线性形式，则存在唯一的有界算子T，使
推论
如果是H上的有界共轭(正定)双线性形式，则存在唯一的自伴(正)算子T，使
定义4 Hilbert空间H上的实函数如果满足：
(i)
(ii)
(iii) 存在，使，
则称为H上的有界实二次形式。
由此可见，对有界的共轭双线性形式，是H上的有界实二次形式，那么H上的任一有界实二次形式是否都是由某个共轭双线性形式诱导的呢？下面的定理回答了这个问题。
定理2
设是Hilbert空间H上的有界实二次形式，则存在唯一的有界共轭双线性形式，使
结论
如果是H上有界实二次形式，则存在有界自伴算子T，使。
定理3
如果是H上的正定双线性形式，则有
特别地，如果T是正算子，则有
上式称为广义Schwarz不等式。