牛顿迭代法

牛顿迭代法（艾萨克·牛顿's method），又称牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法，是由英国物理学家艾萨克·牛顿在17世纪提出的近似求解方程的方法。这种方法适用于实数域和复数域上的方程，尤其在方程的单根附近具有平方收敛特性。牛顿迭代法不仅可用于求解方程的实根，还可应用于求解方程的重根和复根。

发展历史

由于许多方程没有通用的求根公式，使得精确求解变得极为困难，甚至是不可能的。在这种情况下，寻求方程的近似根就显得尤为重要。牛顿迭代法通过使用函数的泰勒级数的前几项来逼近方程的根。这种方法是求解方程根的重要工具之一，特别是在方程的单根附近具有平方收敛性质。此外，牛顿迭代法还被广泛应用于计算机编程中。

迭代公式

牛顿迭代法的基本思想是通过构造一系列的近似值序列来逐步逼近方程的根。具体而言，设f(x)是所求方程的解析表达式，x₀是初始近似值，通过构造过点(x₀,f(x₀))的切线来获得新的近似值。这一过程可以通过以下迭代公式来描述：

其中，f'(x)代表f(x)的一阶偏导数。牛顿迭代法的核心在于将非一次方程转化为线性方程，以便更有效地求解。这种转化是通过对目标方程在某个邻域内的泰勒级数展开，保留其线性部分，并将其设置为0来进行的。如果f(x)在x₀处连续且x₀是孤立的零点，则牛顿迭代法将在x₀周围的某个区域内收敛。此外，如果f'(x)≠0，则牛顿迭代法将以平方收敛的速度收敛。

应用示例

欧几里德算法

欧几里德算法，也被称为辗转相除法，是最著名的迭代算法之一，用于计算两个整数的最大公约数。该算法基于如下定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)，并通过反复迭代直至余数为0来实现。

斐波那契数列

斐波那契数列也是一个典型的迭代算法的例子。该数列定义为：fib(1)=0, fib(2)=1, fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (当n\u003e2时)。通过迭代关系，可以从旧值递推出新值，形成一个循环结构。

编程示例

C++

提供了一个能够求解一元三次方程三个解的C++程序。

MATLAB

MATLAB代码展示了如何定义和调用函数，以及如何使用牛顿迭代法求解方程。

Python

Python代码演示了如何使用牛顿迭代法求解特定方程的根。

Java

Java代码实现了开平方的牛顿迭代法，用于求解一个数的算术平方根。

Fortran

Fortran代码展示了如何使用牛顿迭代法求解sin函数的根。

参考资料

牛顿迭代法 newton raphson迭代法.CSDN博客.2024-10-30

牛顿迭代法.知乎.2024-10-30

数学｜牛顿迭代法.简书.2024-10-30