婆罗摩笈多定理
婆罗摩笈多定理是婆罗摩多提出的数学定理，别名布拉美古塔定理。外文名Brahmagupta theorem。提出时间公元628年。若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边。推广过圆内接四边形两对角线交点作任一边的垂线，必过以其对边为一边，以交点为顶点的三角形的外心。
定理定义
若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边。这个定理有另一个名称，叫做"布拉美古塔定理"（又译"卜拉美古塔定理"）。
验证推导
方法一
如图，运用向量证明。
∵B、F、A共线，由共线向量基本定理可知，存在唯一实数k，使 EF=(1-k) EB+k EA。其中 BF=k BA
又EF⊥CD
∴ EF· CD=[(1-k) EB+k EA]·( CE+ ED)=0
展开得(1-k) EB· CE+k EA· CE+(1-k) EB· ED+k EA· ED=0
∵EB⊥CE、EA⊥ED，即 EB· CE=0， EA· ED=0
∴k EA· CE+(1-k) EB· ED=0
即k| EA|| CE|cos0+(1-k)| EB|| ED|cosπ=0
kEA*EC=(1-k)EB*ED
∴k=1-k，k=1/2
∴ BF=1/2* BA，即F是BA中点
方法二
如图，运用数学证明。
∵AC⊥BD，ME⊥BC
∴∠CBD=∠CME
∵∠CBD=∠CAD，∠CME=∠AMF
∴∠CAD=∠AMF
∴AF=MF
∵∠AMD=90°，同时∠MAD+∠MDA=90°
∴∠FMD=∠FDM
∴MF=DF，即F是AD中点
定理推广
若圆内接四边形的对角线相互垂直，则一边中点与对角线交点的连线垂直于对边。
如上图，圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD，M是垂足。F是AD中点，则FM⊥BC。
过圆内接四边形两对角线交点做另一边的垂线，必过其对边为一边，以交点为一顶点的三角形的外心。
证明
方法一
∵MA⊥MD，F是AD中点
∴AF=MF
∴∠CAD=∠AMF
∵∠CAD=∠CBD，∠AMF=∠CME
∴∠CBD=∠CME
∵∠CME+∠BME=∠BMC=90°
∴∠CBD+∠BME=90°
∴EF⊥BC
方法二
∵F是BA中点
∴ EF=1/2*( EA+ EB)
CD= CE+ ED
EF· CD=1/2*( EA+ EB)·( CE+ ED)
EF· CD=1/2*( EA· CE+ EA· ED+ EB· CE+ EB· ED)
EF· CD=1/2*(EA*ecEB*ED)=0
∴EF⊥CD
定理说明
1.此定理是很冷门的（被考即是因为冷门），最好题前引例证明
2.向量法证明是很方便的方法，特别是另一版本的证明，自己想出来的，比我看的任何证明过程都简单很多
3.想要抓住联赛的几何题，类似的冷门定理要多掌握