内部收益率
内部收益率（Internal Rate of Return，简称IRR）又称内部报酬率，是指项目在计算期内各年净现金流量的现值累计等于0时的折现率。内部收益率反映了投资项目的盈利能力。内部收益率越高，说明投资项目的盈利能力越强，也就是投资者可以获得更高的回报。一般使用试算法和插值法来计算内部收益率。
IRR投资法则是将IRR与要求回报率（k）进行比较，如果内部收益率大于回报率，说明内部报酬率高于要求回报率，可以对该项目进行投资；如果小于或等于则需要对项目进行进一步考虑来决定是否有投资可行性。净现值（NPV）与内部收益率（IRR）一样，都是常用的投资评估方法：两者通常一起被用于项目评估，IRR法则是NPV法则的重要补充；在常规现金流量的独立项目中，两者通常产生一致的投资决策；但遇到非常规现金流、互斥项目时IRR法则失效，应遵循NPV法则进行投资决策。
内部收益率的变化主要取决于项目资金比例、项目贷款利率、项目还款方式以及项目贷款偿还期限等因素。内部收益率主要应用于测算项目投资、计算信用卡分期还款、计算年金保险等方面。通过计算内部收益率可以判断项目的可行性，并且对多个项目进行横向比较，也能够测算出项目存在的风险，并且通过计算内部收益率来评估社会效益。但是，内部收益率也存在着隐含假设、无法比较互斥项目以及无法处理非常规现金流量等局限性。
基本信息
定义
内部收益率（Internal Rate f Return）又称内部报酬率，反映了方案在计算期内盈利能力的动态绝对评价指标，是指项目在计算期内各年净现金流量的现值累计等于0时的折现率。内部收益率反映了投资项目的盈利能力和风险承受能力。内部收益率越高，说明投资项目的盈利能力越强，也就是投资者可以获得更高的回报。同时，内部收益率也表示了投资项目能够承受的最大贴现率，也就是投资者的最低要求收益率。
特点
相对值
内部收益率是一个相对值，而不是一个绝对值。内部收益率并不取决于投资项目的规模和期限，而是取决于投资项目的现金流量的分布和变化。因此，内部收益率可以用来比较不同规模和期限的投资项目的收益水平，也可以用来比较同一投资项目的不同方案的收益水平。内部收益率越高，说明投资项目的收益水平越高，也就是投资效率越高。
存在多解或无解
内部收益率的计算过程比较复杂，有时候也可能存在多个或无解的情况。内部收益率的计算需要通过试算法来求解，不能直接得出。而且，当投资项目的现金流量出现非常规的变化，比如有多次正负交替的现金流量时，就可能导致内部收益率有多个解，或者没有解。这样就会给投资决策带来困难和误导。因此，内部收益率不能单独使用，需要结合其他指标，如净现值、投资回收期等，来进行综合分析。
扩展
修正内部收益率
修正内部收益率（MIRR）是一种用来评估投资项目盈利能力的指标，它是指在一定的贴现率条件下，将投资项目的未来现金流入量按照一定的贴现率（再投资率）计算至最后一年的终值，再将该投资项目的现金流入量的终值折算为现值，并使现金流入量的现值与投资项目的现金流出量达到价值平衡的贴现率。
MIRR计算公式如下：
其中：
n是投资项目的期限；
FV是投资项目的现金流入量的终值；
PV是投资项目的现金流出量的现值。
增量内部收益率
增量内部收益率（ΔIRR）是一种用来比较两个互斥型投资方案的指标，它是指被比较方案A（投资较多或净现金流量总和较大的方案）相对于基准方案B（投资较少或净现金流量总和较小的方案）所增加（或追加）投资的内部收益率。增量内部收益率代表所增加投资的盈利能力，即每单位投资增长额可获得的净效益增加额，也就是投资的边际效益。
增量内部收益率的投资法则是将其与项目资金成本进行比较，若增量内部收益率大于资金成本，说明该方案可行，若增量内部收益率小于资金成本，说明该方案不可行；再将各个保留方案的增量内部收益率进行比较，保留增量内部收益率最高的方案为最优方案。
增量内部收益率的计算公式如下：
其中：
ΔNPV是增量净现值；
ΔIRR是增量内部收益率。
计算方法
计算公式
IRR（内部收益率）是指使投资项目净现值（NPV）等于零的贴现率。NPV为0时的计算公式如下：
其中：
NPV是净现值；
C0是初始投资；
Ct是第t年的现金流量；
n是投资期限；
IRR是内部收益率。
计算方法及工具
试算法
这是一种基于试错的方法，它通过不断调整折现率，直到使投资项目的净现值接近于零为止。这种方法简单易懂，但是效率低，且可能存在多个内部收益率的情况。
第一步：选择一个初始的折现率，比如10%，然后用这个折现率计算投资项目的净现值；
第二步：判断净现值的符号，如果净现值等于零，那么折现率就是内部收益率；如果净现值大于零，那么折现率低于内部收益率，需要增加折现率；如果净现值小于零，那么折现率高于内部收益率，需要减少折现率；
第三步：根据第二步的判断，调整折现率，然后重复第一步和第二步，直到净现值接近于零为止。
插值法
首先，选择两个不同的折现率，比如r1和r2，然后用这两个折现率分别计算投资项目的净现值，记为NPV1和NPV2；
第二步：利用线性插值公式，估算出使投资项目的净现值等于零的折现率，记为r0。线性插值公式为：
第三步：判断r0是否满足精度要求，如果满足，那么r0就是内部收益率的近似值；如果不满足，那么需要重新选择两个不同的折现率，比如r0和r2，然后重复第一步和第二步，直到得到满足精度要求的r0为止。
计算工具
计算IRR主要有两种工具，一是Excel表格中的IRR函数公式，二是金融计算器中计算IRR的函数。
Excel中IRR函数公式的使用：
IRR函数是Microsoft Excel中用来计算投资项目的内部收益率的函数，它的语法是：
IRR(values,[guess])
其中，values是包含投资项目现金流量的数组或单元格引用，必须至少有一个正值和一个负值；guess是对内部收益率的估计值，如果省略，则默认为0.1（10%）。
要使用IRR函数，可以参考以下步骤：
金融计算器中IRR函数的使用：
IRR函数是金融计算器中用来计算投资项目的内部收益率的函数，它的使用步骤如下：
IRR与NPV投资法则
IRR投资法则
使用IRR投资法则最核心的一点就是将IRR与要求回报率（k）进行比较：
若IRR\u003ek，说明内部报酬率高于要求回报率，可以对该项目进行投资；
若IRR\u003ck，说明内部报酬率低于要求回报率，应停止或拒绝对该项目进行投资；
若IRR=k，说明内部报酬率与要求回报率相等，可以对该项目进行投资，但在估算中，受到周期、现金流量的波动等因素的制约，几乎不可能出现相等的情况。
优势和劣势
优势：
劣势：IRR法则的劣势在本词条第6点（局限性）中有详细介绍，这里不再赘述。
NPV投资法则
使用NPV（净现值）投资法则最核心一点是净现值是否为0。在进行投资决策时，应接受NPV大于0的方案，拒绝NPV小于0的方案。
若NPV\u003e0，说明净现值大于0，可以对该项目进行投资；
若NPV\u003c0，说明净现值小于0，应停止或拒绝对该项目进行投资；
若NPV=0，说明净现值等于0，可以对该项目进行投资，但在实际估算中，受到周期、现金流量的波动等因素的制约，几乎不可能出现净现值等于0的情况。
优势和劣势
优势：
劣势：
IRR与NPV的比较
在常规现金流量的独立项目中，IRR和NPV两种方法得出的结论是一致的，因为净现值为正的项目同样有高于资本成本的内部收益率，而内部收益率低于资本成本时，净现值一定为负。通常来说，IRR法则是NPV法则的重要替代方法。
对于非常规现金流、互斥项目，IRR法则和NPV法则有时会得出相反的结论。IRR法则评估的是投入资金的回报率，是相对回报；NPV法则评估的是项目投产为股东创造的财富的收益，是绝对回报。若IRR法则得出的投资结果与NPV法则得出的投资结果相冲突，则IRR法则的估值结果不可用，应依据NPV法则进行决策。
影响因素
项目资本金比例
项目资本金比例是指项目的自有资金占总投资的比例。项目资本金比例越高，说明项目的财务杠杆效应越小，项目的资本金内部收益率越接近全投资内部收益率。项目资本金比例越低，说明项目的财务杠杆效应越大，项目的资本金内部收益率与全投资内部收益率的差距越大。当项目全投资内部收益率大于贷款利率时，资本金内部收益率与资本金比例成反比；当项目全投资内部收益率小于贷款利率时，资本金内部收益率与资本金比例成正比。
项目贷款利率
项目贷款利率是指项目的借款成本，它影响了项目的净现金流量和净现值。项目贷款利率越高，说明项目的借款成本越高，项目的净现金流量和净现值越低，项目的内部收益率越低。项目贷款利率越低，说明项目的借款成本越低，项目的净现金流量和净现值越高，项目的内部收益率越高。项目贷款利率与项目内部收益率呈负相关关系。
项目还款方式
项目还款方式是指项目的借款还本付息的方式，常见的有等额本息和等额本金两种。等额本息是指每年还款金额相同，而等额本金是指每年还本金额相同，付息金额逐年递减。项目还款方式影响了项目的净现金流量的分布和时间价值。当项目全投资内部收益率大于贷款利率时，由于资金的杠杆效应，越晚还款杠杆效应就越大，故适宜采用等额本息方式。当项目全投资内部收益率小于贷款利率时，越早还款对投资人越有利，故适宜采用等额本金方式。
项目贷款偿还期限
项目贷款偿还期限是指项目的借款年限，它影响了项目的净现金流量和净现值。项目贷款偿还期限越长，说明项目的每年还款金额越低，项目的净现金流量和净现值越高，项目的内部收益率越高。项目贷款偿还期限越短，说明项目的每年还款金额越高，项目的净现金流量和净现值越低，项目的内部收益率越低。项目贷款偿还期限与项目内部收益率呈正相关关系。
作用
判断项目可行性
内部收益率可以用来判断项目的可行性和吸引力。一般来说，内部收益率越高，项目越有吸引力，越值得投资。如果内部收益率大于或等于投资者的期望收益率或市场无风险收益率，那么项目是可行的，可以接受；如果内部收益率小于投资者的期望收益率或市场无风险收益率，那么项目是不可行的，应该拒绝。
多个项目横向比较
内部收益率可以用来比较不同项目的优劣。如果有多个项目可供选择，而投资资金有限，那么可以根据内部收益率的大小来排序，选择内部收益率最高的项目，或者选择内部收益率之和最大的项目组合。内部收益率越高，说明项目的回报率越高，投资效果越好。
衡量风险
内部收益率可以用来衡量项目的风险性。内部收益率越高，说明项目的盈利能力越强，能够抵御市场变化和不利因素的影响，项目的风险性越低。内部收益率越低，说明项目的盈利能力越弱，容易受到市场变化和不利因素的影响，项目的风险性越高。
评估社会效益
内部收益率可以用来评估项目的社会效益。除了考虑项目的财务效益，还要考虑项目对社会和环境的影响，例如创造就业、节约资源、减少污染等。这些影响可以用经济内部收益率来衡量，它是将项目的社会成本和收益纳入计算的内部收益率。经济内部收益率越高，说明项目的社会效益越高，越符合社会的需要和期望。
局限性
若互斥项目中周期差异、规模差异、风险差异以及非常规现金流量中多重IRR、不存在IRR出现时，应遵从NPV法则的投资选择。
存在隐含假设
内部收益率法隐含地假设项目的现金流可以以内部收益率进行再投资，而这个假设可能与实际情况不符。这意味着内部收益率法忽略了项目的现金流在不同时间点的价值，也就是时间价值。时间价值是指一定数量的货币在不同的时间点具有不同的价值，因为货币可以用来投资或消费，从而产生收益或效用。如果一个项目的现金流在投资期内有较大的波动，那么内部收益率法就不能准确地反映项目的真实收益水平。
可能无法比较互斥项目
风险差异
IRR无法处理互斥项目中的存在的风险问题。例如，一个投资项目的IRR很高，但是投资风险很大，资金成本很高，而另一个项目虽然IRR较小，但投资风险较低，资金成本也较低，那么IRR法则可能会选择前者而忽略项目投资的风险和成本。
周期差异
IRR不能很好地处理互斥项目的周期差异。例如，如果一个项目的寿命很长，但是IRR很低，而另一个项目的寿命很短，但是IRR很高，那么IRR法可能会选择后者，而忽略了前者的持续性。
规模差异
IRR不能很好地处理互斥项目的规模。例如，如果一个项目的投资额很大，但是IRR很低，而另一个项目的投资额很小，但是IRR很高，那么IRR法可能会选择后者，而忽略了前者的绝对收益。
现金流量与实际情况不符
IRR隐含地假设项目的现金流量可以以IRR的水平进行再投资，而这可能与实际情况不符。例如，如果一个项目的IRR很高，但是市场上没有其他类似收益率的投资机会，那么项目的真实回报可能低于IRR所反映的水平。
无法处理非常规现金流
多重IRR
多重IRR是指一个投资项目的现金流量存在多个内部收益率（IRR）的情况，也就是说有多个贴现率可以使项目的净现值（NPV）等于零。多重IRR的原因主要是投资项目的现金流量出现非常规现金流，即现金流量的符号变化的次数大于一次，也就是说项目在初始投入后不仅有现金流入，还有现金流出。多重IRR的出现会导致IRR法在评估投资项目时失去唯一性和可比性，从而降低其有效性和可靠性。
如上图所示：若投资项目同时存在现金流入和流出的情况，会导致NPV为0时存在多个IRR的解，从而产生多重IRR。
不存在IRR
不存在IRR的情况是指在给定的现金流量和期限下，无法找到一个贴现率使得项目的净现值等于零，也就是说IRR的方程没有实数根。不存在IRR的原因主要有以下两种：
上图所示中，纵轴表示现金流量，横轴表示时间，在这三种情况下，项目的净现值曲线没有零点，从而导致不存在IRR。
主要应用
项目投资
内部收益率可以用来比较不同规模和期限的投资项目的收益水平，也可以用来比较同一投资项目的不同方案的收益水平。内部收益率越高，说明投资项目的收益水平越高，也就是投资效率越高。项目投资的决策原则是，如果内部收益率高于投资者的最低要求收益率，那么投资项目就是可行的，反之则不可行。
计算信用卡分期还款
信用卡分期还款是一种借贷方式，用户可以将一笔大额消费分成若干期还款，每期还款的金额包括本金和利息。信用卡分期还款的内部收益率就是信用卡公司从用户的分期还款中获得的年化收益率。用户在选择信用卡分期还款的时候，应该比较不同信用卡公司的内部收益率，内部收益率越低，说明分期还款的成本越低，用户的负担越轻。
计算年金险
年金保险是一种保险储蓄产品，用户在一定期限内缴纳保费，然后在约定的时间开始领取年金，直到终身或者约定的期限结束。年金险的内部收益率就是用户从年金险中获得的年化收益率。用户在选择年金险的时候，应该比较不同年金险产品的内部收益率，内部收益率越高，说明年金险的收益水平越高，用户的退休生活越有保障。
相关指标
外部收益率
外部收益率是指项目在整个计算期内假定已回收的资金(正的净现金流量)按最低期望收益率进行再投资，其累计的再投资收益等于投资(负的净现金流量)的终值时的利率。
其计算公式为：
其中：MERR——最低期望收益率；
ERR——外部收益率
Rt——第t年正的净现金流量（否则为零）；
Ct——第 t 年负的净现金流量(否则为零)。
当外部收益率大于或等于企业的最低期望收益率时，表明该项目的投资收益率能满足企业最低期望收益率的要求，就可考虑接受该项目;若外部收益率小于企业的最低期望收益率，则应拒绝该项目。
投资利润率
投资利润率是指在生产经营期正常生产年份的净收益占投资总额的百分比。计算公式为：
对于该指标的决策标准是：如果一个项目的投资利润率大于它的目标投资利润率，那么就可以接受这个项目。
投资利润率的优点是容易计算，所需要的资料也很容易取得。缺点表现在，它并不是真正的报酬率，忽略了货币的时间价值。
静态投资回收期
静态投资回收期是指在不考虑资金时间价值的情况下项目方案用净收益回收全部投资的年限,也可以表述为使项目的累计净现金流量为零的时间。其一般计算公式为:
式中:Ft为第t年的净现金流量。
静态投资回收期法的判断规则:对单个方案而言,PBP≤T0(标准投资回收期，或称基准投资回收期),方案可行;PBP\u003eT0,方案不可行。
对多方案而言，一般不用该方法进行择优比较,但是,其他条件相同且在静态投资回收期短于标准投资回收期的前提下,静态投资回收期最短的最优。
这是最为简便的一种方法,易于被投资决策者所理解和接受。在实际应用中,对于小型项目的简要计算,往往采用该方法。但是,该方法的缺陷是没有考虑资金时间价值对投资方案的影响。
动态投资回收期
动态投资回收期则是指在考虑资金时间价值的情况下项目方案净现金流量现值累计为零时的时间。此时,为了具有可比性,必须把方案的全部投资和各年的净收益按基准收益率折算到某一时点上，然后再计算投资回收期。一般是折算到方案的开始点。
一般计算公式为:
其中：PBPt为动态投资回收期。
动态投资回收期法的判断规则与静态投资回收期法的判断规则是一样的。当项目的投资回收期较长时,动态投资回收期法和静态投资回收期法的差异较大。而且，如果项目方案的动态投资回收期大于基准投资回收期要引起投资决策者的高度注意。
参考资料
HP 10bII+ 金融计算器 快速入门指南.HP Calculator Literature.2023-11-26