艾森斯坦整数
艾森斯坦整数是具有以下形式的复数：a+bω，其中a和b是整数，且ω是三次单位根，具体为ω = (1/2)(-1+i√3) = e^(2πi/3)。艾森斯坦整数在复平面上形成了一个六边形的点阵结构，与高斯整数形成的正方形点阵不同。
简介
设x和y是艾森斯坦整数，如果存在某个艾森斯坦整数z，使得y = zx，则我们说x能整除y。这是整数的整除概念的延伸。因此我们也可以延伸素数的概念：一个非可逆元的艾森斯坦整数x是艾森斯坦素数，如果它唯一的因子是ux的形式，其中u是六次单位根的任何一个。
我们可以证明，任何一个被3除余1的素数都具有形式x^2−xy+y^2，因此可以分解为(x+ωy)(x+ω^2y)。因为这样，它在艾森斯坦整数中不是素数。被3除余2的素数则不能分解为这种形式，因此它们也是艾森斯坦素数。任何一个艾森斯坦整数a + bω，只要范数a^2−ab+b^2为素数，那么就是一个艾森斯坦素数。实际上，任何一个艾森斯坦整数要么就是这种形式，要么就是一个可逆元和一个被3除余2的素数的乘积。
性质
艾森斯坦整数在代数数域 Q(ω)中形成了一个代数数的交换环。每一个 z = a + bω都是首一多项式z^2-(2a-b)z+(a^2-ab+b^2)的根。ω满足方程ω^2+ω+1=0，因此艾森斯坦整数是代数数。艾森斯坦整数的范数是它的绝对值的平方，由公式|a+bω|^2=a^2-ab+b^2给出，因此它总是整数。由于4a^2-4ab+4b^2=(2a-b)^2+3b^2，非零艾森斯坦整数的范数总是正数。
艾森斯坦整数环中的可逆元群是复平面中六次单位根所组成的循环群，包括{±1, ±ω, ±ω^2}，它们是范数为一的艾森斯坦整数。
欧几里德域
艾森斯坦整数环形成了一个欧几里德域，其范数N由公式N(a+bω)=a^2-ab+b^2给出。这是因为N(a+bω)=|a+bω|^2=(a+bω)(a+bω̅)=a^2+ab(ω+ω̅)+b^2=a^2-ab+b^2。这个性质说明了在艾森斯坦整数环中，任何两个整数都可以进行带余除法，余数的范数小于被除数的范数。