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不确定性原理

不确定性原理

不确定性原理（Uncertainty principle），又称“测不准原理”“不确定关系”“海森堡不确定性原理”等，是量子力学的一个基本原理，由物理学家海森堡（Heisenberg）于1927年提出。该原理主要指在确定微观粒子位置与动量时，位置的测量越精确，动量的测量就越不精确，反之亦然。起初，海森伯格在论文中得出了不确定性原理的粗略计算公式，后续由厄尔·黑塞·肯纳德（Earle Hesse Kennard）与赫尔曼·韦尔（Hermann Klaus Hugo Weyl）于1928年提出了其确切的公式即（）。

不确定性原理与观察者效应时常会被混淆。观察者效应是指对于系统的测量不可避免地会影响到该系统。为了解释量子不确定性，海森伯格的表述所用的则是量子层级的观察者效应，测量不是只有实验观察者参与的过程，而是经典物体与量子物体之间的相互作用，实际上的不确定性原理说的就是不确定性是粒子的内在属性，不管你测不测量，它的位置和动量都不可能同时确定。类似的不确定性关系式也存在于能量和时间、角动量和角度等物理量之间。

在实际应用中，海森堡不确定性原理也可以用于检验发生于超导系统或量子光学系统的“数字－相位不确定性原理”。此外，对于不确定性原理的相关研究可以用来发展引力波干涉仪所需要的低噪声科技，它在量子精密测量、量子通信等量子信息处理中也起到关键的作用。

概述

针对在原子和亚原子粒子的微观尺度上，海森伯格提出了不确定性原理（也称测不准原理，1927年），其是指在一个量子力学系统中，一个运动粒子的位置和它的动量不可被同时确定，位置的不确定性和动量的不确定性是不可避免的，它们的乘积不小于（为普朗克常数），即（）。在数学上，在波动力学中，位置和动量之间的不确定性关系之所以出现，是因为希尔伯特空间中两个相应的正交基中的波函数表达式是彼此的傅里叶变换（即位置和动量是共轭变量）。非零函数及其傅里叶变换不能同时进行峰位定位。在矩阵力学中，任何一对表示可观察的非交换自伴随算子都受到类似的不确定性限制。可观察对象的特征状态表示特定测量值（特征值）的波函数状态。即：位置的测量越精确，动量的测量就越不精确，反之亦然。在最极端的情况下，一个变量的绝对精度将导致另一个变量的绝对不精确。

发展历史

旧量子论到现代量子力学过渡

1925年7月，海森伯格在论文《运动与机械关系的量子理论重新诠释》（Quantum-Theoretical Re-interpretation of Kinematic and Mechanical Relations）里表述了矩阵力学（后来用希尔伯特空间上的算子来表示）。从此旧量子论渐趋式微，现代量子力学的时代正式开启。矩阵力学大胆地假设，经典的运动概念不适用于量子层级，束缚在原子内部的电子并不具有明确定义的轨道，而是运动于模糊不清、无法观察到的轨道，其对于时间的傅立叶变换只涉及到因量子跃迁而产生的可以被观察到的电磁辐射的离散频率。

该研究始于1922年，当时海森堡德国哥廷根市参加尼尔斯·玻尔（Niels Bohr）的夏季讲座。在那里，他否认了克莱默关于氢原子的二次斯塔克效应的论文结果。海森伯格坚称这个结果因为依赖于经典的散射计算，是不可能正确的。直到1925年，海森堡意识到将经典运动学应用于不可观测的原子尺度量仍然会给出错误的答案。他开始相信，通往成功的量子力学的道路中需要拒绝任何不可观测的量，并创建一种“只发生可观测量之间的关系”的物理学。海森堡从实验得到的原子谱线分裂的量子数出发，发现了量子数的不对易性，引入矩阵运算实现量子化过程并依据哈密顿方程创建矩阵力学。

7月9日，海森堡将他完成的论文寄给沃尔夫冈·泡利审阅，谨慎的提出了自己关于矩阵力学的观点。随后该工作迅速得到认可，马克斯·玻恩和其学生乔丹于1925年9月发表了论文，阐述了海森堡的数学运算原来就是他在学生时代学到的矩阵微积分。另外，在分别表示位置与动量的两个无限矩阵之间存在著一种很特别的关系──正则对易关系，以方程式表示为：。保罗·狄拉克于1925年11月发表了论文，专注于泊松括号表达式。这些论文扩展了海森堡的矩阵力学，以更好的数学形式表达了基本量子力学关系：。

不确定性原理提出

1926年，提出了量子力学的第二种形式一波。同年夏，薛定谔又证明矩阵力学和波动力学的数学等价性。在波动力学中，体系的状态用薛定谔方程的解——波函数来描述。

1925-1927年，海森堡对矩阵力学进行机理上的解释分析，在分析的过程中借助物质波的模型和结论提出不确定原理，再设计实验对不确定原理进行实验验证，最后发现根据不确定原理可以导出量子数的不对易性，从而指明不确定原理应该假设为一条自然定律，并以此作为量子论对经典概念进行批判的出发点。最后，在《论量子理论运动学与力学的物理内涵》论文中给出该原理的原本启发式论述。在海森堡的不确定原理中，光的能量以小块的方式走过来，测量过程本身将不可避免地给我们要测量的物体造成一个显著的扰动。因此，在一个量子力学系统中，一个运动粒子的位置和它的动量不可被同时确定。

其中，1926年，提出了量子力学的第二种形式一波。同年夏，薛定谔又证明矩阵力学和波动力学的数学等价性。在波动力学中，体系的状态用薛定谔方程的解——波函数来描述。

不确定性原理其本质还是波粒二象性，不确定原理的推导利用了路易·德布罗意公式，而德布罗意公式也来自波粒二象性。因此，不确定原理和德布罗意波都可以认为是物体的波粒二象性的不同反映，它们从不同侧面对波粒二象性进行了阐释。

不确定性原理扩展

1927年，厄尔·肯纳德首先证明了现代不等式，其中，是位置标准差，是动量标准差，是约化普朗克常数。1929年，霍华德·罗伯森推导出基于对易关系的不确定关系式。2003年名古屋大学的小泽正直将传统海森伯格不等式得出的测量极限与位置和动量本身具有的量子涨落加以区分，推导出扩展版不等式（）。同年多伦多大学的罗泽马团队在美国《物理评论通讯》上发表了“弱测量技术”相关内容，对不确定性原理进行了质疑与讨论。9年后，小泽不等式通过维也纳工科大学长谷川花司的实验得到验证，已经被广为接受。

数学阐述

不确定原理（uncertainty principle），或称不确定关系（uncertainty relation）测不准原理、测不准关系，可以由沃纳·卡尔·海森堡的矩阵力学形式以及埃尔温·薛定谔的波动力学形式进行解释，二者在数学表示上只有形式不同，但表达含义相同，揭示了微观粒子运动的基本规律，是微观粒子波粒二象性的形象而定量的描述。

矩阵力学

位置和动量的不确定关系式

在经典力学中粒子（质点）的运动状态是用位置坐标和动量来描述的而且这两个量都可以同时准确地予以测定，这就是牛顿力学的确定性。因此，可以说同时准确地测定粒子（质点）在任意时刻的坐标和动量是经典力学以保持有效的关键。然而，对于具有二象性的微观粒子来说，不能同时确定坐标和动量，而只能说出其可能性或者概率。此外，位置和动量的不确定关系也可以表述为顺序测量不确定性原理、联合测量不确定性原理以及制备不确定性原理，其中顺序测量不确定性原理指不可能在测量位置时完全不搅扰动量，反之亦然；联合测量不确定性原理指不可能对于位置与动量做联合测量，即同步地测量位置与动量，只能做近似联合测量；制备不确定性原理指不可能制备出量子态具有明确位置与明确动量的量子系统。

具体以电子通过单缝衍射为例。设有一束电子沿轴射向屏轴射向屏的狭缝。于是，在照相底片上，可以观察到如图所示的射图样。仍用坐标和动量来描述电子的运动状态，人射电子方向无动量电子从缝的何处通过是不确定的，只知是在宽为的缝中通过。显然，电子在轴上的坐标的不确定范围是。在同一瞬时，由于衍射的缘故，电子动量的大小虽未变化，但动量的方向有了改变。由图可以看到，如果只考虑一级（）衍射图，则电子被限制在一级最小的衔射角范国内，有。

根据动量的分解，可知电子在方向上动量分量的大小将被限制在的范围内，即电子动量沿轴方向的分量的不确定范围是，即，考虑到衍射次极大还要大一些，即，因此一般地有。换言之，测量粒子位置的精度越高（越小）测量粒子动量的精确度就越低（越大）。而加大缝宽，减弱衍射，使粒子穿过狭缝而不偏离单射方向的同时，必然放弃了粒子位置的确定性。存在两种极端情况：如果粒子的位置完全确定（），那么粒子动量分量的数值就完全不确定（）；如果粒子动量分量完全确定（），那么粒子位置的坐标就完全不确定（）。这个关系不是对测量粒子位置和粒子动量分量的精确度加以约束，而是在同时测量两者时对乘积施加限制。

能量和时间的不确定关系式

微观粒子的行为在能量与时间上也体现出不确定关系。考虑对一个运动粒子能量进行测量所需的时间为，粒子的能量与动量的关系是，那么能量的不确定度与动量不确定度满足，而时间粒子可能的位移正是这段时间粒子位置的不确定度，由，得。

波动力学表示

由于微观粒子的波粒二象性，经典粒子运动状态已不能用位置和动量来准确地描述，于是用波函数来描述波的行为，因此，马克斯·玻恩（Born）对此提出物质波的统计性解释，认为大量粒子在空间何处出现的空间分布却服从一定的统计规律，将粒子的波动性和粒子性联系起来。

德布罗意波代表的是一列无穷长的平面波，它有确定的能量和动量，但分布于全空间，即以它为波函数所描述的粒子处于空间坐标完全不确定的状态。按经典力学的眼光看来，这当然是很难理解的。如果你对用这种方式描述粒子不喜欢的话，我们可以把它换成有限长的波列。把无限长的波列压缩成有限长的波列，在波函数上乘一个在有限长范围内不为0的包络函数。这种包络函数可以有不同形式，如方垒型、指数型、高斯型等，但它们有个共性，即做傅里叶分析后，频谱宽度和波列长度的乘积都是一个数量级为1的常数。高斯型的函数有些优点，一是它的傅里叶变换式也是高斯函数，二是能够作严格的微积分运算。因此，在gaussian型波包中来讨论不确定度关系。

高斯型的波函数可写成（1），式中归一化因子，时间振荡因子在这里无关紧要，略去不写。将上式作傅里叶分解。按德布罗意关系，粒子的动量与波矢的关系为，故傅里叶变换也可用来表达：（2），其中（3）。其中，（2）式的物理意义是：有限长的波列（1）式可看作是波长为、振幅为的一系列单色波的叠加，所以它又叫做波包（wavepacket），计算给出和的方差：，于是我们得到。上式也就是沃纳·卡尔·海森堡不确定度关系式。它在量子力学里具有普遍的意义。

其实，（1）式中的波函数与（2）式中的描述同一量子态的概率幅，只不过绝对值的平方给出粒子的概率按坐标的分布，而绝对值的平方则给出粒子的概率按动量的分布。二者属于不同的表象（representation），前者是波函数的表象。在经典统计物理学中人们给出同时按两者分布的分布函数[如玻耳兹曼-麦克斯韦分布]，在量子力学中这是不可能的，因为存在海森伯格不确定度关系，和不可能同时精确给出。

信息熵不确定性原理

信息是一个近代的概念，也称香农。1948年克劳德·香农（Shannan）在创立信息论时，找到的量来量度信源的不确定性，它的最初含义是随机变量的不确定性度量。这个量与热力学和统计力学中的熵数学形式和物理意义都相近，所以也称为熵。对于给定状态向量|ψ⟩的位置和动量分布，可以定义为：（1），（2），可以推出（3）。这种熵不确定性原理对海森堡——肯纳德关系进行了改进，可以证明（独立于量子理论）对于任何概率密度函数有，将其应用到不等式（3）可以得到，由此可以看出熵不确定关系中隐含着海森堡不确定性原理。

应用

不确定关系除了在理论上具有重大意义之外，还有广泛的实际用途，特别是常常用来定性地估计体系的基本特征。在微观世界，一些物理量的不确定量常常与这些物理量自身相当，根据这个特点，还可以利用不确定关系来估算一些物理量。其次，不确定性原理也可以检验发生于超导系统或量子光学系统的“数字—相位不确定性原理”。对于不确定性原理的相关研究可以用来发展引力波干涉仪所需要的低噪声科技，它在量子精密测量、量子通信等量子信息处理中也起到关键的作用。

此外，不确定性原理也可以应用于实验测量粒子的位置和动量关系，在量子系统的探测器中，粒子束流由外场构成的源产生，然后被发送到实验区，在探测器中这些粒子被一个事例一个事例地记录下来。真实的粒子束流总是在空间和时间上有限地延展和持续，把一段波（波列或波包）视为一个长度有限的、周期确定的脉冲，利用能够切断波的尾巴的种特制快门，谐波分析可以给出该信号的频谱，显示像持续时间和频率、空间尺度和动量这样的一些互补量，从而得到相应的计算关系式。