选择公理
选择公理（Axiom of Choice）是ZFC公理系统中的一条公理，常简记为AC。该公理断言：任给由非空集合组成的集合F，必存在选择函数f，使得对每个A∈F，都有f(A)∈A。
选择公理起源于19世纪后半叶良序原则的证明。1883年，格奥尔格·康托尔（Cantor,G.）提出了良序原则：“每个集合都可以被良序。”1890年，逻辑学家皮亚诺（Peano,G.）在关于常微分方程的一篇文章中首次明确提到选择原则，并对它提出了怀疑。1904年，策梅洛（Zermelo,E.F.F.）用现代术语明确叙述了选择公理，并由此证明了良序原则。20世纪初期，学者们肯定了选择公理在数学各分支中的应用价值，恩斯特·策梅洛的良序定理越来越多地被用在群论、环论、布尔代数以及格论中，在线性代数和域论中也有新的应用被发现。但是，选择公理也引起了争议，利用该公理会得到“奇怪”的结论，如1924年，波兰数学家斯特凡·巴拿赫（S.Banach）和塔尔斯基（A.Tarski）证明了“分球定理”。
选择公理在集合论、抽象代数等数学分支中都有较多的等价命题，如良序定理、佐恩引理等。选择公理相对于ZF公理系统是独立的，由于一些争议的存在，它具有相对相容性。可数选择公理和相依选择公理是选择公理的弱形式，但也有一些公理或假设强于选择公理。此外，该公理在数学证明中应用广泛，如它可以证明“一个具无穷多个节点的扇树有一个无穷支”。
定义
幂集：指由非空集合组成的集合，即集合的集合。
选择函数：它是一个集族上的一个函数。它规定：对于所有在集族中的集合，是的一个元素。
选择公理断言：任给由非空集合组成的集合，必存在选择函数，使得对每个，都有。选择公理用形式化语言可表示为：。在ZFC公理系统中，常用表示选择公理。
此外，选择公理有如下变化表达：非空集合的任意笛卡尔积是非空的。一个否定的简洁公式化表达是：存在没有选择函数的非空集合的一个集合。第二个版本的选择公理声称：给定相互无交的非空集合的任何集合，存在着至少一个集合包含着与每个非空集合有精确的一个公共元素的集合。
简史
背景与提出
选择公理起源于19世纪后半叶良序原则的证明。在1883年，康托尔（Cantor,G.）提出了良序原则：“每个集合都可以被良序。”1890年，逻辑学家皮亚诺（Peano,G.）在关于常微分方程的一篇文章中首次明确提到选择原则，并对它提出了怀疑。1904年，德国数学家恩斯特·策梅洛（Zermelo,E.F.F.）用现代术语明确叙述了选择公理，并由此证明了良序原则。四年后，他首先给出一个集合论公理化系统，后经德国学者弗兰克尔（Fraenkel,A.A.）等数学家的改进，最终形成ZF公理系统。在此基础上加上选择公理，得到的系统就是ZFC公理系统。
争议与发展
20世纪初期，学者们肯定了选择公理在数学各分支中的应用价值。随着代数的抽象化发展，恩斯特·策梅洛的良序定理越来越多地被用在群论、环论、布尔代数以及格论中，在线性代数和域论中也有新的应用被发现。1922年，库拉托夫斯基（Kuratowski）提出第一极大原理，其后由佐恩（Zorn）用良序定理严格论证，该原理又被称为佐恩引理。1930年，马尔切夫斯基（Marczewski）用选择公理证明了序的扩张定理。1954年，斯科特（Scott）证明了格的极大理想定理等价于选择公理。但是，该公理也引发了许多争议，反对者给出了各种理由，利用选择公理会得到一些“奇怪”的结论，如1924年，波兰数学家斯特凡·巴拿赫（S.Banach）和塔尔斯基（A.Tarski）证明了“分球定理”。近年来，也有人指出选择公理与物理学中的无信号原则产生矛盾。
等价命题
集合论
（2）直积定理：若干非空集合之直积非空。
（3）交点唯一定理：如果为不交非空集之类，则有集合存在，使对每个，恰含一个元素。
（4）极大不交子类存在定理：任意类恒含一个由互不相交的集合作成的极大子类。
（5）基数可比定理：任二基数恒可比较大小。
（6）多个选取公理：对非空集作成的类恒有使为之有限子集（）。
（7）塔斯基相关定理：设、、、为超限基数，则以下命题与选择公理等价：
（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）若，则；（Ⅳ）若且，则；（Ⅴ）若且，则；（Ⅵ）若，则；（Ⅶ）若，则。
（8）佐恩引理：设是一个集合，且满足对于任意的链，有集合在中，那么中存在极大元，即不是中其他任意元素的子集。
（9）豪斯多夫极大值原理：令为集合上的偏序，那么存在的一个极大线性有序子集，即的子集具有线性序和以下性质：若且在下是线性序，那么。
（11）反链原理：每个部分序集必有一个极大反链（即由互相不能比大小的元素作成的一个极大子集）。
（12）序集可整序定理：每个序集恒可整序化之。
抽象代数
（13）投射原理：对每个集合及每个正常类，有到上的一个映射存在。
（14）内射原理：对每个集合及每个正常类，有到内的一个双射存在。
（15）每个向量空间都有一组基。
（16）格的极大理想定理：每个有及另一元素之格恒含极大理想。
（17）环的极大理想定理：有单位元的非零环必有极大理想。
（18）布尔代数的极大理想定理：对布尔代数的每个由非元组成之集，必存在一个与不交的极大理想。
（19）向量空间的相补定理：任意向量空间的子空间有相补子空间使。
（20）消去广群存在定理（选择公理的代数形式）：在每个非空集合上恒存在一个消去广群。
（21）每个自由阿贝尔群都是射影群。
（22）每个可分阿贝尔群都是单射群。
数学分析
（23）端点定理（选择公理的几何形式）：实线性赋范空间的（连续）对偶空间（即共轭空间或伴随空间）的单位球有一端点。
点集拓扑
（24）吉洪诺夫乘积定理：任意紧空间簇的积空间都是紧致空间。
（25）弱吉洪诺夫定理：若干个拓扑同构的紧致空间的直积仍为紧致空间。
（26）任何连通空间簇的笛卡尔积都是连通的。
（27）子集乘积的闭包等于闭包的乘积。
数理逻辑
（28）莱文海姆—斯科伦—塔斯基定理：如果一集可数多个语句有无穷模型，则它有任意基数的模型。
（29）莱文海姆—斯科伦定理：无穷多个语句的集合的任意模型都有一个子模型，它的势不超过的势。
图论
（30）每个连通图都有一棵生成树。
作用
有穷集合的定义问题
有穷集合有两种常用的定义。
（1）对于任意的集合，如果有一自然数，使得中恰有个元素，则称为有穷集合，不是有穷集合时，就称为无穷集合。
（2）对于任一意合，如果有的一真子集与是一一对应的，则称为无穷的；当不是无穷时，就称是有穷的。
在有选择公理时，（1）与（2）是等价的；在无选择公理时，则不能证明它们是等价的，同样利用力迫方法可以证明，存在着一个选择公理不成立的模型，在其中有一集合，按照（1）它是无穷的，按照（2）它是有穷的。
函数的连续性问题
一个实变量的实值函数连续的标准定义如下：
（1），在点是连续的当且仅当对每个，存在，使得对于所有的，当时，成立。
此外，连续还可以用下面的性质刻画。
（2），在点是连续的当且仅当对每个收敛于的序列，序列收敛于。
容易看出（1）蕴涵（2）：如果收敛于并且如果给定的，那么正如在（1）中首先找到，并且因为收敛，那么存在，当时，使得。显然，对于所有这样的，都有。
如果假设选择公理成立，则（2）也蕴涵（1），因此（1）和（2）是两个等价的连续函数的定义。现在假设（1）不成立，那么存在，使得对每个存在一个使得，但是，。特别地，对每个可以选择一些使得并且。序列收敛于，但是序列不收敛于，故（2）也不成立。
性质
相对相容性
相对相容性：选择公理的相容性是选择公理不会导致逻辑矛盾的特性。由于分球怪论等与人们直觉相悖结论的出现，对选择公理是否会导致其他逻辑矛盾产生了严重怀疑。用库尔特·卡塞雷斯不完全定理只能研究选择公理对ZF公理系统的相对相容性，即由ZF公理系统的相容性证明ZF+AC（ZFC）的相容性。
证明思路：该问题由美籍奥地利数学家哥德尔（Gödel,K.）于1939年解决，他用两种在ZF公理系统中构造ZFC模型的方法（内模型法）证明了这种相对相容性。
模型1（可构造模型）：由所有可构造集组成，可构造集是由空集出发，用各种集论运算逐次构造得到的集合。中成立ZF的所有公理；另一方面，中的所有集合可以依其被构造的前后定义一个良序，所以在该模型中，选择公理成立。
模型2（遗传序数可定义模型HOD）：HOD中的元素是可用包含序数作参数的公式定义出的集合，该集合的元素、该集合的元素的元素等也都是可如此定义的集合。模型HOD在集论运算下封闭，它满足ZF的所有公理。另外，因为可以将定义集合的所有可能方式加以枚举，故可用这一枚举及序数参数的自然良序来构造HOD上的良序，再加之HOD中元素的元素仍是HOD的元素，于是选择公理在HOD中成立。
独立性
独立性：选择公理的独立性指选择公理不可由其他集合论公理推导出来的特性。
证明思路：在20世纪20年代和30年代，弗兰克尔（Fraenkel,A.A.）和莫斯托夫斯基（Mostowski,A.）等人就研究了选择公理相对于允许有原子的集合论系统ZFA的独立性。莫斯托夫斯基引入了称为置换模型的结构，使选择公理在其中为假。但是并没有证明选择公理（对于ZF公理系统）的独立性，因为这个结构的基础全域不是集合论全域，而是包罗了原子在内。事实上，在上述置换模型中，所找到的一个不能被良序的集合（它被用来否定选择公理）是原子的集合，而不是实数集或其他真正数学上的集合。
1963年，科恩（Cohen,P.J.）将上述思想与力迫方法结合，证明了选择公理相对于ZF系统的独立性：设是ZFC的一个可数传递模型，利用力迫方法可以构造的脱殊模型，且可证明也是ZFC的传递模型。利用弗兰克尔的思想，科恩定义了脱殊模型的一个子模型，即对称模型，并证明了对称模型是ZF公理系统的模型，但选择公理在其中不成立。从而也就证明了选择公理的独立性。
相关公理
弱选择公理
可数选择公理ACω
定义：非空集的每一个可数族有选择函数。可数选择公理常记为。
联系：可数选择公理是选择公理的一种较弱的形式。
相依选择公理DC
定义：设为非空集合，为其上的二元关系。如果对任意都存在使得，则存在的元素的可数序列使得相依选择公理通常用表示，该公理又称依赖选择公理、相关选择公理。
联系：相依选择公理是选择公理的一种较弱的形式。
不相容的公理
决定性公理AD
游戏：对的每一个子集，可做如下定义：甲、乙二人对局，甲选取自然数，乙选取自然数，接着甲取数，乙取数，，从而形成两个无穷序列：
甲
乙
若所得结果序列在中，则甲胜，否则乙胜。甲的策略为一函数，使得对任何。乙的策略也为一函数，使得对任何，。对甲（乙）来说是必胜策略，假设甲（乙）运用它作游戏时不管乙（甲）采取怎样的做法，他必胜。
游戏称为决定的，若甲、乙二人中有一人必有必胜策略。
决定性公理：对每一个，游戏是决定的。决定性公理常简记为。
联系：决定性公理与选择公理不相容。
相关争议
有关集合定义的争论
选择公理有悖于定义集合的初衷。在利用集合研究问题时，人们总是认为集合中的所有元素都具有一个共同的特性，就像格奥尔格·康托尔最初思考的那样。而选择公理则破坏了这个特性，因为所要组建的新的集合中的元素是来自各种集合的，元素之间是互不相识的。罗素（Bertrand Russell）举例说：一百双鞋子，宣布从每双鞋子中选出左脚的那只，这种选择如果有是清晰的；如果是一百双袜子，如何从每一双中选出一只呢？如何能分辨出这种选择呢？对于康托尔最初的定义他提出了理发师的悖论，使得人们不能从“共性”出发来定义集合；可是人们从更为一般性的角度来定义集合时，他又提出鞋子、袜子的悖论，使得人们无法从一般中回归到“特性”。
分球怪论
利用选择公理会得到一些反直觉的存在。1924年，波兰数学家斯特凡·巴拿赫（S.Banach）和塔尔斯基（A.Tarski）证明了“分球定理”：任意闭集可以分为两个不相交的子集，，即且，并且和、每一个都全等。在直观上这条定理等于说一个球可以重新做成两个与原来一样大的球，从而经过次重新做，就能得到个与原来一样大的球。这是与人们的经验相悖的。
衍生理论
ZFC公理系统
1908年，恩斯特·策梅洛给出了第一个集合论公理系统，现在人们称它为Z系统，后经斯科伦、弗兰克尔等人的改进，形成了著名的ZF公理系统。然而，ZF公理系统的展开是形式化的，它是以带等词“”和隶属关系“”的狭谓词演算为基础，加上关于集合基本性质的非逻辑公理组成的形式演绎体系。它的非逻辑公理有：外延公理、空集公理、配对公理、并集公理、幂集公理、子集公理、无穷性公理、替换公理模式、正则性公理。如果加上选择公理AC时，得到的公理系统就是ZFC（ZF+AC）。
其他解释
NBG公理系统与MK公理系统：NBG公理系统简称GB公理系统，首先由约翰·冯·诺依曼（J.Von Neumann）在1925年提出，后来伯奈斯（Bernays）于1937年作了改进并进一步发展了这个公理系统，再经过库尔特·卡塞雷斯的改进和整理加以采用。在NBG公理系统中，引入了类的概念，并区分了集合和真类，集合既可以集合为其元素，也可为其他类的元素，但规定真类只能以集合为其元素，真类本身不能作为任何类的元素。MK公理系统，也称QM公理系统，将NBG公理系统B组公理进行了替换，加强了NBG公理系统。GB公理系统和MK公理系统中的整体选择公理蕴含选择公理，比选择公理更强。
连续统假设与可构成性公理：连续统假设是康托尔于1883年提出的假设，即可数无穷集的基数的后面就是连续统的基数。将其推广可得到广义连续统假设：对任意超限基数来说，在与之间不存在另外的基数。库尔特·卡塞雷斯从1935年起开始研究连续统假设及广义连续统假设，并证明了ZF公理系统与广义连续统假设是协调一致的。在证明过程中利用了可构成性公理，即“一切集合是可构成的”。可构成性公理蕴含连续统假设和选择公理。因此，可构成性公理、广义连续统假设强于选择公理。
直觉类型论：直觉类型论由马丁·诺夫（P.Martin-Löf）创建，来源于为解决集合论中的逻辑悖论而提出的分支类型论。其重要观点是“命题和类型是等同的”。在直觉类型论中，选择公理具有与ZFC公理系统不同的表现形式，是可被证明的定理。
应用例题
抽象代数
例1：设为布尔环，是的理想且，则存在的素理想，使得且。
证明：设是布尔环的理想且。令。则。显然构成一个偏序集，这里为通常的集合之间的包含关系。下面证明中的每一个链都有上界。
设是中的一个链，令。易证，从而是中的链的一个上界。根据佐恩引理，中有极大元，设为。由得且。下证为的素理想。事实上，倘若存在使得。则由的极大性知，这里为的由所生成的理想，于是存在，，使得。同理，存在，使得，故
，这与矛盾，故为的素理想。
泛函分析
定义1：设为实向量空间，为上的泛函，如果对任意及非负数都有，，则称为半线性泛函。
定义2：设为实线性空间，为上一子空间上的线性泛函，为上的一子空间上的线性泛函。如果且对任意都有，则称为的线性扩张，记为。显然是一偏序。
例2（巴拿赫定理）：设为实向量空间上的半线性泛函，为上的一子空间上的且满足对任意都有的线性泛函，则存在上的线性泛函，使得对任意都有且为的线性扩张。
证明：令，则满足佐恩引理中的条件。从而由佐恩引理知，中存在极大元。设为的极大元，不难证明在上处处有定义。
图论
例3：一个具无穷多个节点的扇树有一个无穷支。
证明：设是一个扇树，考虑具无穷多个后继的所有节点子集，在中每一节点都在中有一个立即后继，引用选择公理：有一个映射使是的立即后继，而是无穷的，，定义，，就不会有一个最终点，因为，所以，从而就是一个无穷支。
参考资料
满足f(x+y)=f(x)+f(y)的函数是什么样子的？.搜狐-多塔数学网.2024-06-30