有限群
有限群（英文：finite group）是特殊的群，其定义为：如果群G的元的个数是一个有限整数，则G就称为有限群；反之，称G为无限群。有限群的元的个数称为群G的阶，记为|G|。
群的思想最早可见于古希腊数学家欧几里得（Euclid）的著作《几何原本》中，但并没有真正出现群的概念。抽象群的发展可追溯到18世纪，法国数学家约瑟夫·拉格朗日（J.L.Lagrange）在讨论代数方程根之间的置换时，置换群的概念已经形成。1830年前后，法国数学家伽罗瓦（E.Galois）在专业意义上第一次使用“群”这个术语，并用群论的方法来研究代数方程的解。从他开始，代数的研究中心由代数方程逐渐转变为各种抽象的代数结构。1858年，德国数学家戴德金（R.Dedekind）在著作《代数讲义》中致力于群的一般理论的研究，给出了有限群的一般定义及其相关性质。1887年，德国数学家弗罗贝尼乌斯（F.G.Frobenius）证明了有限抽象群的西罗定理，并于1895年发表了关于抽象群概念的著作《有限群》。进入20世纪后，有限群的可解性问题得到了进一步解决。20世纪初，英国数学家伯恩赛德（W.Burnside）证明了伯恩赛德定理，并于1911年出版了群论著作《有限阶群论》。1965年，杨科（Z.Janko）找到了除马蒂厄群外的第一散在单群，并在1981年前后基本上解决了著名的有限单群分类问题，进一步发展了有限群理论。
有限群与子群、陪集等概念密切相关，它能分解为两两不相交陪集的并。有限群的主要类型包括有限阿贝尔群、置换群、循环群等。有限群理论具有很多相关定理，其中拉格朗日定理揭示了有限群的阶与其子群的阶之间的关系。此外，有限群在现实世界中具有广泛的应用价值，如在密码学中，基于乔治·阿贝尔有限群上的高效密钥协商方案，能有效地抵抗各种攻击方案，提高信息加密的安全性。
定义
群
设是一个非空集合，如果在上定义了一个代数运算，称为乘法，记作（或称为加法，记作），而且它适合以下条件，那么称为一个群：
（1）对于中任意元素有
（结合律）；
（2）在中有一个元素，它对中任意元素有
；
（3）对于中任一元素都存在中一个元素使
。
有限群
如果群的元的个数是一个有限整数，则就称为有限群；反之，称为无限群。有限群的元的个数称为群的阶，记为。
简史
早期研究
群的思想最早可见于古希腊数学家欧几里得（Euclid）的著作《几何原本》中，但并没有真正出现群的概念。抽象群的发展可追溯到18世纪，法国数学家约瑟夫·拉格朗日（J.L.Lagrange）在讨论代数方程根之间的置换时，已有置换群的概念。1830年前后，法国数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦（E.Galois）在专业意义上第一次使用“群”这个术语，并用群论的方法来研究代数方程的解。方程的群是伽罗瓦思想理论的核心概念，它被定义为保持根的有理函数不变的置换群，后来被称为伽罗瓦群，揭示了方程的系数域与根的置换群对应的关键思想。
从埃瓦里斯特·伽罗瓦开始，代数的研究中心由代数方程逐渐转变为各种抽象的代数结构。法国数学家奥古斯丁-路易·柯西（A.L.Cauchy）被认为是有限阶理论的创始人，他于1844年证明了柯西定理。1854年，英国数学家凯莱（A.Cayley）在《哲学杂志》上发表的文章《依赖于符号方程θn=1的群理论》中，给出了群的第一个抽象定义。1858年，德国数学家戴德金（R.Dedekind）在著作《代数讲义》中致力于群的一般理论的研究，他从有限个对象的置换出发，将置换群概念拓展到一般的有限群，给出有限群的一般定义及其相关性质。
后续发展
1878年，凯莱（A.Cayley）强调一个群可以看作一个普遍的概念，并指出每个有限群可以表示成一个置换群。1887年，德国数学家弗罗贝尼乌斯（F.G.Frobenius）证明了有限抽象群的西罗定理。1889年，德国数学家霍尔德（Hölder）证明了卡米尔·若尔当—霍尔德定理，随后又详细地研究了单群和可解群，证明了一个素数阶循环群是单群，个全部偶置换组成的交换群是单群。从90年代开始，弗罗贝尼乌斯致力于可解群的研究，他发现阶不能被一个素数的平方整除的群全都是可解的，并于1895年发表了关于抽象群概念的著作《有限群》。
进入20世纪后，有限群的可解性问题得到了进一步解决。20世纪初，英国数学家伯恩赛德（W.Burnside）用特征标理论证明了伯恩赛德定理，并于1911年出版了群论著作《有限阶群论》。1962年，费特（W.Feit）和汤普森（J.G.Thompson）证明了奇数阶群的可解性。1965年，杨科（Z.Janko）找到了除马蒂厄群外的第一散在单群，并在1981年前后基本上解决了著名的有限单群分类问题，进一步发展了有限群理论。
相关概念
子群
定义：如果群的非空子集对于的代数运算也作成一个群，则称是的一个子群，记作。任何一个非单位元群至少有两个子群，自身以及由单位元作成的单位元群，称它们为的平凡子群。不是平凡子群的子群称为非平凡子群。群的非空子集为的子群的充分必要条件：对任意的，恒有。
子群的指数：若是群的子群，则可以分解为的左（右）陪集的无交并，在中的全部左陪集所成之集合和全部右陪集所成之集合有相同的基数（势），称为在中的指数，记为。
陪集
定义：设是一个群，是的子群，对固定的元，形如的元所成的集合，记为，称为（在中）的左陪集。同样地，称为的右陪集。
结论：设是有限群，是的非平凡子群，则能分解为两两不相交陪集的并。
举例
例1 非空集合只包含一个元，乘法是。对于该乘法来说作成一个群，它是一个有限群。
例2 集合在数的乘法下成为一个群，单位元为，的逆元是它自身，它是一个只有两个元素的有限群。
例3 设是一正整数，全体次单位根（即方程的个根）对于复数的乘法成一个群，该群记为，且有，它是一个有限群。特别地，当时，。
例4 模同余类的子集是一个可交换的、阶数为的有限群。例如，当时，是一个阶有限群。
例5 保持平面上正三角形不变只有一个轴的转动构成的对称群称为群。它包括绕垂直正三角形平面并通过正三角形中心的轴转和的三个转动，转动的转动为单位元素，是一个有限群。
常见类型
有限阿贝尔群
阿尔贝群：如果群的运算适合交换律，即对于群中任意元素，有，那么称群为交换群或阿贝尔群。
有限阿贝尔群结构定理：有限加群可唯一地分解为素数幂循环群的直和，即设，是不同素数，则
（1），其中是阶为的循环群。
（2）自然数集由群唯一确定。
置换群
定义：设是一个非空集合，是上若干一一变换的集合。若关于变换的乘法，即合成运算，构成一个群，则称是的一个变换群。特别地，上所有一一变换关于变换乘法构成对称群。若，则上的对称群称为次对称群，记为。有限集合上的一一变换称为置换，有限集合上的变换群称为置换群。
结论：任意一个有限群都同构于一个置换群。
循环群
一般地，对阶有限群，任取，那么
因为中只有个元素，所以上面个元素中必有两个相等，换言之，对于有限群中任何元素，一定存在正整数，使得是单位元。根据最小数原理，一定存在最小正整数，使得，称为的周期。
定义：设是阶有限群，，是的周期，称是由生成的循环子群。显然，循环子群是阿贝尔群。如果存在一个元素，使得的周期，即
那么称为循环群。
结论：若有限群的阶是素数，则一定是循环群。
有限李型群
弗罗贝尼乌斯同态是素特征域上代数群的一类自同态。一般地，设是简约代数群，是代数群同态。若存在到的嵌入以及正整数与，使得与在的限制是一致的，则称是弗罗贝尼乌斯同态。
定义：弗罗贝尼乌斯同态的固定点集是有限子群，这种有限群称为有限李型群。
相关定理
拉格朗日定理
内容：设是有限群，是的任一子群，则
，
从而的任一子群的阶是的阶的因数。
推论：设是有限群，则的任一元素的阶是的阶的因数，从而。
柯西定理
内容：设为有限群，为素数且，则群中必包含阶元。
凯莱定理
内容：若是一个群，则存在集，使得同构于上的一个置换群。
由凯莱定理可知：当是阶有限群时，不同构的阶群只能有有限多个。
西罗定理
第一定理：设是一个有限群，且，其中为整数，且不能整除，那么一定有一个彼得·卢德维格·梅德尔·西罗子群。
第二定理：设是一个阶有限群，为一个素数，且整除，则的每个子群必含在的某个西罗子群中，进一步，的任一两个西罗子群均在中共轭。
第三定理：设是一个阶有限群，为一个素数，且整除，则的西罗子群的个数整除，进一步，。
伯恩赛德定理
内容：阶为的有限群是可解群，其中是素数，是非负整数。
推论：每个非尼尔斯·亨利克·阿贝尔有限单群的阶至少能被三个不同的素数整除。
费特—汤普森奇阶定理
内容：奇阶的有限群必为可解群。
施密特定理
内容：如果有限群的每个真子群是幂零的，则是可解的。
推论：如果有限群的每个真子群是群，则是可解的。
若尔当—霍尔德定理
内容：有限群的任意两个无重复项的合成群列有相同的长度，而且它们的因子群组在同构意义下不计次序一一相等。
有限单群的分类定理
内容：设是一个有限单群，则同构于下列单群之一：
（1）素数阶的循环群；
（2）交错群，其阶为；
（3）李（Lie）型单群；
（4）散在单群。
推论：设是单群，，则同构于或，其中。
特殊性质
可解群
定义：设有一个正规群列
，
其商群
都是阿贝尔群，则称为可解群。任何阿贝尔群都是可解群。
充要条件：是可解群存在使。
由该条件可得，若为可解群，为的子群，则也是可解群。若是满同态，则也是可解群。
超可解群
定义：若且为的一个极小正规子群，则称为群的一个主因子。如果有限群的主因子均为循环群时，就叫为超可解群。
性质：（1）超可解群的每个子群亦超可解；
（2）超可解群的每个同态像也是超可解的；
（3）两个超可解群之直积仍为超可解的；
（4）若有两个正规子群与使与都是超可解的，则也是超可解群。
分类
对于任何整数，总有一个有个元素的群，即循环群。对于每个大于的偶整数，至少有两个具有个元素的非同构群，即循环群和二面体群。对于大于的形式的每一个整数，至少有三个具有个元素的非同构群，即循环群、二面体群和广义四元群。对于阶数小于的阿贝尔群和非阿贝尔群，群的数量如下表所示：
应用
地理学
地理学中，地震滑移的岩石动摩擦过程包含了多尺度、多重物理机制，其研究过程较为复杂。基于分离式霍普金森压杆杆束技术对含倾斜界面的花岗石进行冲击实验，在微动滑移条件下，表面仍非常粗糙，很难观察到大位移滑移时的光滑滑移面。在此基础上，应用斜条型有限子群表示，结合微界面相对滑移磨损扩散的控制方程，可建立岩石界面粗糙形态动力学演化的描述方法。该方法有一定的可行性，对界面动摩擦演化过程及其机制的认识具有良好的参考意义。
密码学
在信息安全系统中，密钥是合法访问的唯一凭证。安全的密钥管理方案不仅影响着系统的安全性，而且还将涉及系统的可靠性、有效性和经济性等内容。考虑到传统的密钥协商方案在安全性、时效性、经济性等方面存在的不足，可设计新的基于尼尔斯·亨利克·阿贝尔有限群上离散对数问题的求解困难性的高效密钥协商方案，该方案无需繁琐的身份鉴别认证过程，也不需要引入时戳服务器，就能有效地抵抗各种攻击方案，具有较高的安全性，且操作简单，可应用于各种软硬件环境中。
计算机科学
计算机科学中，哈希是算法设计中的重要技术之一，哈希计算的有效性和哈希指纹的清晰度并不总是一致的，在计算有效性的高优先情况下，运算的简单可能致使弱哈希所产生的指纹很不清晰。在算法设计中，单独一个弱哈希的作用有限，可通过有限群来构造一个快速连续弱哈希序列，它能够应用于设计实时算法来解决顺序抽取公共子串问题，还能设计快速同步协议来解决宽带网络和云计算环境下的文档多历史版本内容的实时备份和实时检索问题。